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第八章重积分;§1.二重积分的概念;2.二重积分的定义
设是平面上的一个有界闭区域.是零面积
集合.是定义在上的函数.用两组
相互横截的曲线将分成个小区域.
并进一步假定分割的曲线都是零面积的.
令.再任取,考察和
记
;如果存在数,对,,使得
只要,不管
分割曲线组及中间点如何选取，那么就称
在上可积.称为
在上的二重积分.记作
或.;3.可积的必要条件与充分条件
定理1.1假设在可求面积的有界闭区
域上可积,那么在上有界.
定理1.2设是平面上有界闭区域,边界是零
面积集合.又设在上连续,那么
在上可积.;4.二重积分的根本性质
(1)
(2);(3)(区域可加性)设且,
都是可求面积的,在上均
可积,那么在上可积,且
.;(4)假设,,那么
.;(5)积分中值定理
设在可求面积的有界闭区域上
连续,那么在上至少存在一点,
使得
,
其中的面积.;§2.二重积分的计算;例1求.
例2求.
例3写出所对应的累次积分,其
中由所围.;2.利用对称性化简计算
例4.设,求
,.
例5.求.;3.极坐标下二重积分的计算
定理2.2设为可求面积的有界闭区域,
在上可积,那么
其中.;例6.设,
,
求.
例7.将用极坐标化成二次积分,
其中为
(1)
(2)由
所围成
(3)由所围成
;例8.求,其中是
在第一卦限的局部.;§3.二重积分的一般变元替换法那么;定理3.1在上述假定下,有以下公式;例1.
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