国际数学奥林匹克试题分类解析—A数论_A3数字问题.pdfVIP

A整数A3数字问题

A3－001在数3000003中，应把它的百位数字和万位数字0换成什么数字，才能使所得的

数能被13整除？

【题说】1950年～1951年波兰数学奥林匹克三试题2．

【解】设所求数字为x和y，则有

因为10、10、10除以13时，分别得余数1、3、9，所以

642

n≡3＋3x＋9y＋3＝3（2＋x＋3y）（mod13）

当且仅当x＋3y＋2被13整除，即

x＋3y＋2＝13m（m为自然数）（1）

时，n被13整除．由于

x＋3y＋2≤9＋3·9＋2＝38

所以m只能取1或2．

当m＝1时，由方程（1）及0≤x，y≤9，解得

x＝8，y＝1；x＝5，y＝2；x＝2，y＝3

当m＝2时，解得x＝9，y＝5；x＝6，y＝6；x＝3，y＝7；x＝0，y＝8．

故本题共有7个解：3080103，3050203，3020303，3090503，3060603，3030703，3000803．

A3－002求出所有这样的三位数，使其被11整除后的商数等于该三位数各位数字的平方和．

【题说】第二届（1960年）国际数学奥林匹克题1．本题由保加利亚提供．

【解】设这个三位数除以11以后的商为10a＋b，其中a是商的十位数，b是商的个位数．若a

＋b≥10，则原数为

100（a＋1）＋10（a＋b－10）＋b

若a＋b＜10，则原数为

100a＋10（a＋b）＋b

以下对这两种情形分别讨论．

先考虑第一种情形．由题设有

（a＋1）＋（a＋b－10）＋b＝10a＋b（1）

222

若a＋b＞10，则有

（a＋1）＋（a＋b－10）＋b≥（a＋1）＋1＋

2222

（11－a）2

故若（1）式成立，只能有a＋b＝10．

将b＝10－a代入（1）解得唯一的一组正整数解

a＝7，b＝3

再考虑第二种情形．此时由题设有

a＋（a＋b）＋b＝10a＋b（2）

222

若a＋b＞5，则有

a＋（a＋b）＋b＝2（a＋b）·a＋2b＞10a＋b

2222

故若（2）成立，只能有a＋b≤5．注意在（2）式中左边和10a都是偶数；因此b也是偶数．若

a＋b＜5，则b只能为2，将b＝2代入（2）得不到整数解，因此只能有a＋b＝5．

将b＝5－a代入（2）得唯一的一组正整数解

a＝5，b＝0

综上所述，合乎要求的三位数只有550，803．

A3－003下面是一个八位数除以一个三位数的算式，试求商，并说明理由．

【题说】1958年上海市赛高三题1．

【解】原式可写成：

其中所有未知数都表示数字，且下标为1的未知数都不等于零．xxx等表示x·10＋x·10＋

2

12312

x等．

3

（1）因为得到商的第一个数字7后，同时移下两个数字a、a，所以y＝0，同理y＝0．

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（2）四位数aa