人教版数学八年级下册第十八章 平行四边形 大单元备课课件+任务单+练习-小专题特殊平行四边形的性质与判定（教师）.docxVIP

小专题特殊平行四边形的性质与判定

1．(聊城)如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：

(1)△ABF≌△DAE；

(2)DE＝BF＋EF.

证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，AD∥BC.

∴∠BPF＝∠DAE.

∵∠ABC＝∠AED，

∴∠BAF＝∠ADE.

∵∠ABF＝∠BPF，

∴∠ABF＝∠DAE.

∵AB＝DA，

∴△ABF≌△DAE(ASA)．

(2)∵△ABF≌△DAE，

∴AE＝BF，DE＝AF.

∵AF＝AE＋EF＝BF＋EF，

∴DE＝BF＋EF.

2．如图，在?ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.

(1)求证：四边形BFDE是矩形；

(2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．

证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD.

又∵CF＝AE，

∴BE＝DF.

又∵BE∥DF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.

∴四边形BFDE是矩形．

(2)∵四边形BFDE是矩形，

∴∠BFD＝90°.∴∠BFC＝90°.

在Rt△BFC中，由勾股定理，得

BC＝eq\r(CF2＋BF2)＝eq\r(62＋82)＝10.

∴AD＝BC＝10.

又∵DF＝10，∴AD＝DF.

∴∠DAF＝∠DFA.

∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠FAB.

∴∠DAF＝∠FAB.

∴AF是∠DAB的平分线．

3．(北京)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)若AB＝eq\r(5)，BD＝2，求OE的长．

解：(1)证明：∵AB∥DC，

∴∠BAC＝∠DCA.

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC＝∠BAC.

∴∠DAC＝∠DCA.∴AD＝CD.

∵AB＝AD，∴AB＝CD.

∴四边形ABCD是平行四边形．

又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．

(2)由(1)知，四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC.∴∠AOB＝90°，BO＝eq\f(1,2)BD＝1.

在Rt△AOB中，由勾股定理，得

AO＝eq\r(AB2－BO2)＝2.

∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°.

又∵点O是Rt△ACE斜边AC的中点，

∴OE＝AO＝2.

4．(盐城)在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF，如图所示．

(1)求证：△ABE≌△ADF；

(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由．

解：(1)证明：连接AC交BD于点O.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC，BD互相垂直平分，BO＝DO，AB＝AD.

又∵BE＝DF，

∴BE＋BO＝DF＋DO，即OE＝OF.

∴AC，EF互相垂直平分．

∴AE＝AF.

在△ABE和△ADF中，

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,BE＝DF，,AE＝AF，))

∴△ABE≌△ADF(SSS)．

(2)四边形AECF是菱形．理由如下：

由(1)可知，AC，EF互相垂直平分，

∴四边形AECF是菱形．

5．(青岛)已知：如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.

(1)求证：AB＝AF；

(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥BF，DC＝AB.

∴∠GAF＝∠GDC，

∠GFA＝∠GCD.

∵点G为AD的中点，∴AG＝DG.

在△GAF和△GDC中，

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠GFA＝∠GCD，,∠GAF＝∠GDC，,AG＝DG，))

∴△GAF≌△GDC(AAS)．

∴AF＝DC.

∴AB＝AF.

(2)四边形ACDF是矩形．

证明：∵AB＝AF，AG＝AB，∴AG＝AF.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD＝∠BCD＝120°.

∴∠FAG＝60°.

∴△AGF为等边三角形．

∴GA＝GF.

由(1)知，AF＝DC，AF∥DC.

∴四边形ACDF为平行四边形．

∴AG＝GD，CG＝GF.

∴CF＝AD.∴四边形ACDF是矩形．

6．(鄂州)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.

(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；

(2)当DE＝DF时，求EF的长．

解