专题12-2 不等式选讲归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（解析版）.docx

专题12-2不等式选讲归类

目录

TOC\o1-1\h\u【题型一】解参数型绝对值基础不等式 1

【题型二】满足区间范围的不等式求参 2

【题型三】借助图像求参 3

【题型四】绝对值三角不等式公式型 5

【题型五】绝对值最值与均值最值型 6

【题型六】绝对值最值与三元均值型 8

【题型七】均值不等式型证明 9

【题型八】均值综合型三元不等式证明 10

【题型九】柯西不等式证明 11

【题型十】绝对值不等式与柯西不等式型 13

真题再现 14

模拟检测 21

【题型一】解参数型绝对值基础不等式

【典例分析】

．已知函数，.

（1）解关于的不等式；

（2）若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）由，得.根据2-a的符号进行讨论解绝对值不等式（2）函数的图象恒在函数图象的上方，即对任意实数恒成立；即对任意实数恒成立；所以只需求得不等式左边的的最小值即得结论，借助三角不等式即可得

（1）由，得.

当，即时，不等式的解集为；

当，即时，得或，即或，

故原不等式的解集为；

综上，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

（2）函数的图象恒在函数图象的上方，即对任意实数恒成立；即对任意实数恒成立；

∵，当时取等号；

∴.故时，函数的图象恒在函数图象的上方.

【提分秘籍】

基本规律

【变式演练】

已知函数

（1）若的解集为，求实数的值；

（2）当且时，解关于的不等式

【答案】（I）（Ⅱ）

试题解析：（1）因为所以5分

（2）时等价于当所以舍去

当成立当成立

所以，原不等式解集是10分

【题型二】满足区间范围的不等式求参

【典例分析】

已知函数（）．

（1）当时，解不等式；

（2）当时，，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

试题解析：（1）因为，所以，即，

当时，，，，从而；

当时，，，，从而不等式无解；

当时，，，从而；综上，不等式的解集为．

（2）由，得，

因为，

所以当时，；

当时，

记不等式的解集为，则，故．所以的取值范围是．

【变式演练】

设.

（1）解不等式；（2）若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

试题解析：（1）,所以当时,,满足原不等式；当时,,原不等式即为,解得满足原不等式；当时,不满足原不等式

综上原不等式的解集为.

（2）当时,,由于原不等式在上恒成立,,在上恒成立,,设,易知在上为增函数,.

【题型三】借助图像求参

【典例分析】

已知函数．

（1）画出和的图像；

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）图像见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；

（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.

【详解】（1）可得，画出图像如下：

，画出函数图像如下：

（2），

如图，在同一个坐标系里画出图像，是平移了个单位得到，

则要使，需将向左平移，即，

当过时，，解得或（舍去），

则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.

【变式演练】

已知函数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若方程有三个不同的解，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

试题解析：（1）当时，

所以当时，，不合题意；

当时，，解得；

当时，，符合题意.综上可得的解集为.

（2）设的图象和的图象如图所示.

易知的图象向下平移个单位以内（不包括个单位），与的图象始终有个交点，

从而.所以实数的取值范围为.

【题型四】绝对值三角不等式公式型

【典例分析】

已知函数.

（Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集；

（Ⅱ）设函数.当时，，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

试题解析：（Ⅰ）当时，.解不等式，得.

因此，的解集为.

（Ⅱ）当时，，

当时等号成立，所以当时，等价于.①

当时，①等价于，无解.当时，①等价于，解得.

所以的取值范围是.

【提分秘籍】

基本规律

利用公式||a|-|b||≤|a±b||a±b|≤|a|+|b

【变式演练】

设函数,其中．

（I）当时,解不等式；

（II）若对于任意实数,恒有成立,求的取值范围．

【答案】（I）；（II）.

试题解析：（Ⅰ）时,就是

当时,,得,不成立；当时,,得,所以；

当时,,即,恒成立,所以.综上可知,不等式的解集是.

(Ⅱ)因为,

所以的最大值为.对于任意实数,恒有成立等价于.

当时,,得；当时,,,不成立.

综上,所求的取值范围是

【题型五】绝对值最值与均值最值型

【典例分析】

设．

(1)求的解集;

(2)若的最小值为，且，求的最小值．

四川省南充高级中学2023届高考模