2025年课标高考文数每日习题真题分类专题十四　坐标系与参数方程 (3)(带答案解析).docx

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专题十四坐标系与参数方程

解答题

1.(2024河南名校3月模拟,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2cosθ,

(1)求点M的轨迹C2的极坐标方程;

(2)已知直线l:y=kx与曲线C2交于A,B两点,若OA=3AB,求k的值.

解析(1)设P(2cosθ,2sinθ),M(x,y).由于点M为PQ的中点,所以x=2cosθ+42=2+cosθ,y=2sinθ2

(2)设直线l:y=kx的极坐标方程为θ=α(ρ∈R),A(ρ1,α),B(ρ2,α),因为OA=3AB,所以4OA=3OB,即4ρ1=3ρ2.联立ρ2-4ρcos

则ρ1+ρ2=4cosα,ρ1ρ2=3,

2.(2024河南中原名校联盟联考四,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cosα,y=2+2sin

(1)求曲线C的极坐标方程;

(2)已知β为锐角,直线l:θ=β(ρ∈R)与曲线C的交点为A(异于极点),l与曲线M的交点为B,若|OA|·|OB|=162,求l的直角坐标方程.

解析(1)由题意知曲线C的普通方程为x2+(y-2)2=4,即x2+y2=4y,所以ρ2=4ρsinθ,即ρ=4sinθ,故曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ.

(2)因为曲线M的极坐标方程为ρ2sin2θ=320θπ2,所以ρ=32sin2θ.将θ=β代入,得|OB|=42sin2

3.(2024届河南重点中学模拟调研一,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=

(1)求曲线C的极坐标方程;

(2)已知曲线C上两点A,B的极坐标分别为A(ρ1,α),Bρ2,α+π2,求证:ρ12

解析(1)易得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4,即x2+y2+2x-3=0,由x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,得曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.

(2)证明:把A(ρ1,α),Bρ2,α+π2分别代入ρ2+2ρcosθ-3=0,得ρ12

显然ρ1≠0,ρ2≠0,所以ρ1-3ρ1=-2cosα,ρ2-

两式平方相加得ρ12+ρ22+

4.(2024届江西景德镇模拟,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为x=1+5cosθ,y=1+5sinθ(θ为参数,θ∈[0,2π)),直线l1的参数方程为

(1)分别写出曲线M与直线l2的极坐标方程;

(2)设直线l1、l2分别与曲线M交于A、C与B、D,顺次连接A、B、C、D四个点构成四边形ABCD,求|AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2.

解析(1)易得曲线M的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=5,即x2+y2-2x-2y=3,由x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,

得曲线M的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ=3.

由题意知直线l1的普通方程为y=tanα·x,故直线l1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R),又l2⊥l1,

∴直线l2的极坐标方程为θ=π2+α且α∈0

(2)由题设知:|AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2=2(|OA|2+|OB|2+|OC|2+|OD|2),

设|OB|=ρ1,|OD|=ρ2,|OA|=ρ3,|OC|=ρ4,

由θ

可得ρ1+ρ2=2(cosα-sinα),ρ1ρ2=-3,

由θ

可得ρ3+ρ4=2(sinα+cosα),ρ3ρ4=-3,

∴|OA|2+|OB|2+|OC|2+|OD|2=(ρ1+ρ2)2-2ρ1ρ2

∴|AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2=40.

5.(2024届湘豫名校联盟11月联考)在平面直角坐标系xOy中,C1的参数方程为x=-2+tcosα,

(1)求C2的直角坐标方程,并指出其图形的形状;

(2)若曲线C1与C2有且仅有一个公共点,求参数方程C1中的α的正切值.

解析(1)由ρ=22cosθ-

即ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ,将x=ρcosθ,y=ρsin

(2)将C1的参数方程代入(x-1)2+(y-1)2=2,得t2-(6cosα+2sinα)t+8=0,

∵曲线C1与C2有且仅有一个公共点,故方程有两个相等的根,即Δ=(6cosα+2sinα)2-32=0,

整理得cos2α+6sinα·cosα-7sin2α=0,

即cosα=sinα或cosα=-7sinα,

则tanα=1或tanα=-17

6.(2024合肥二模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=22(t14

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;

(2)若曲线C2与曲线C1交于点A,B,M(-2,2),求1|MA|

解析