抽象代数期末考试试卷及答案.doc

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抽象代数试题

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是（）。

A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶

2、设G是群，G有（)个元素,则不能肯定G是交换群.

A、4个B、5个C、6个D、7个

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于()。

A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂

4、下列哪个偏序集构成有界格（）

A、（N，）B、（Z，）

C、（｛2,3，4,6，12},|(整除关系））D、(P(A)，）

5、设S3＝｛（1），(12），（13），(23)，（123)，（132)}，那么，在S3中可以与（123)交换的所有元素有(）

A、（1）,(123)，（132）B、12）,（13）,（23）

C、（1）,（123)D、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。

1、群的单位元是——的，每个元素的逆元素是-———--——的。

2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则———-。

3、区间[1，2]上的运算的单位元是-—-————。

4、可换群G中|a｜=6,|x|=8，则|ax|=———-——-———。

5、环Z8的零因子有———-—-——--—-——-————.

6、一个子群H的右、左陪集的个数—-—-——-———。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的—--——--—-。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-—————-—。

9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为—————-—-.

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分)

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？

2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗?

3、设有置换,。

1．求和；

2．确定置换和的奇偶性.

四、证明题(本大题共2小题,第1题10分，第2小题15分，共25分)

1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a—1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e

近世代数模拟试题三参考答案

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、C；2、C；3、D；4、D;5、A;

二、填空题(本大题共10小题,每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、唯一、唯一；2、；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、;

三、解答题（本大题共3小题,每小题10分，共30分）

1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子,分类进行计算：例如,全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等,可得总共8种。

2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2：

因为S1，S2是A的子环,故a—b，ab∈S1和a-b,ab∈S2，

因而a—b，ab∈S1∩S2,所以S1∩S2是子环。

S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：

3、解:1．,;

2．两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)

1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a,由理想的定义,因而R的任意元

这就是说=R，证毕。

2、证必要性：将b代入即可得。

充分性：利用结合律作以下运算：

ab=ab(ab2a）=(aba)b2a=ab2a=e,

ba=(ab2a）ba=ab2(aba)=ab2a=e,

所以b=a—1。

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一．判断题(每小题2分，共20分）

1。实数集关于数的乘法成群。（）

2.若是群的一个非空有限子集，且都有成立，则是的一个子群.（）

3。循环群一定是交换群.