专题21 与圆有关的计算（讲义）（解析版）（江苏专用）.pdfVIP

专题21与圆有关的计算

1．会计算圆的弧长、扇形的面积

2．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系

考点1：正多边形

一、正多边形的概念

各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

注

判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如

菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).

二、正多边形的重要元素

1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，

这个圆就是这个正多边形的外接圆．

2.正多边形的有关概念

（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

3.正多边形的有关计算

（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；

（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；

（3）正ｎ边形每个外角的度数是.

注要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.

三、正多边形的性质

1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.

2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.

3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数

是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比

的平方．

5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

考点2：弧长

半径为R的圆中

360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式

n°的圆心角所对的圆的弧长公式(弧是圆的一部分)

注

（1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；

（2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；

（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三

个量.

考点3：扇形

1.扇形的定义

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式

半径为R的圆中

360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式

n°的圆心角所对的扇形面积公式

注

（1）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，

即；

（2）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可

以求出第三个量.

（3）扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，

可类比记忆；

（4）扇形两个面积公式之间的联系

.

考点4：圆锥侧面积

连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.

圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则

npl2

圆锥的侧面积S扇==prl，

360

圆锥的全面积.

注

扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.

因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.

【题型1正多边形与圆】

【典例1】如图，半径为2的eO是正六边形ABCDEF的外接圆，则下列说法错误的是（）

A．点O是正六边形ABCDEF的中心B．正六边形ABCDEF的边长是2

C．正六边形ABCDEF的中心角是60°D．正六边形ABCDEF的