第四章 专题四 模 型 拓 展 内文（北师大版八年级下册数学课件）.pptxVIP

单元复习课专题四模型拓展

因式分解的几何模型【例】如图D4－4－1①所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.

请你结合以上知识，解答下列问题：(1)写出如图D4－4－1②所示的正方形所表示的数学等式_________________________________________________，并根据整式乘法的运算法则，通过计算验证此等式；(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca解：(1)∵(a＋b＋c)2＝(a＋b＋c)(a＋b＋c)＝a2＋ab＋ac＋ab＋b2＋bc＋ca＋cb＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca,∴此等式成立.

(2)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：若a＋b＋c＝10，ab＋ac＋bc＝42，求代数式a2＋b2＋c2的值；解：(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc,∴a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－(2ab＋2ac＋2bc)＝100－84＝16.

(3)小明同学用如图D4－4－1③中x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片，z张长、宽分别为b，a的长方形纸片拼出一个面积为(3a＋4b)(9a＋5b)的长方形，求代数式x＋y＋z的值.解：(3)∵(3a＋4b)(9a＋5b)＝27a2＋20b2＋36ab＋15ab＝27a2＋20b2＋51ab，∴x＝27，y＝20，z＝51.∴x＋y＋z＝27＋20＋51＝98.

【对应练习】如图D4－4－2①,现有足够多的边长为a的小正方形纸片(A类)，长为b，宽为a的长方形纸片(B类)以及边长为b的大正方形纸片(C类).如图D4－4－2②,小明利用上述三种纸片各若干张，拼出了一个长为(a＋2b)，宽为(a＋b)的长方形，并用这个长方形解释了等式(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2是成立的.

(1)若取如图D4－4－2①中的纸片若干张(三种都要取到)拼成一个长方形(所取纸片用完无剩余)，使它的长和宽分别为(2a＋b)，(a＋b)，请你通过计算说明需B类纸片多少张；(2)若取A类纸片2张，B类纸片5张，C类纸片2张，能拼成一个长方形吗(所取纸片用完无剩余)？请你在图D4－4－2③中画出示意图并写出能用该长方形来解释成立的等式.

解：(1)(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2,∴3ab÷ab＝3.答：需要B类纸片3张.(2)∵(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋5ab＋2b2,∴能拼成一个长为(2a＋b)，宽为(a＋2b)的矩形.图略.

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