专题9-2 圆的综合题型归类-高考数学一轮复习热点题型归纳与变式演练（解析版）.docx

专题9-2圆的综合题型归类

目录

TOC\o1-3\h\u【题型一】点与圆的位置关系 2

【题型二】直线与圆1：到直线的距离为定值的点个数 4

【题型三】直线与圆2：弦心距 5

【题型四】直线与圆3：弦心角 7

【题型五】直线与圆4：圆心与弦三角形最值 9

【题型六】两个圆公共弦与位置关系 10

【题型七】阿波罗尼斯圆 12

【题型八】圆中的“将军饮马型” 14

【题型九】圆最值 17

【题型十】圆中的光学性质 20

【题型十一】圆切线1：切线长范围 22

【题型十二】圆切线2：切点三角形与四边形面积 24

【题型十三】圆切线3：切点弦方程 26

【题型十四】圆切线4：切点弦含参 28

【题型十五】圆切线5：切点弦范围 30

【题型十六】圆切线6：两圆公切线 32

【题型十七】圆切线7：角度范围 34

【题型十八】圆有关的轨迹 36

真题再现 39

模拟检测 48

综述

1.圆的标准方程：

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，其中(a，b)为圆心，r为半径．

2.圆的一般方程：

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

该方程表示圆的充要条件是D2＋E2－4F0，其中圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2).

3.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr?相交；d＝r?相切；dr?相离．

(2)代数法：利用判别式Δ＝b2－4ac进行判断：Δ0?相交；Δ＝0?相切；Δ0?相离．

4．圆与圆的位置关系：设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r10)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r20).则：

dr1＋r2?外离； d＝r1＋r2?外切； |r1－r2|dr1＋r2?相交； d＝|r1－r2|?内切； 0≤d|r1－r2|?内含

5.圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：x0x＋y0y＝r2.

(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

(3)过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程的求法：

①以M为圆心，切线长为半径求圆M的方程； ②用圆M的方程减去圆C的方程即得；

(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

6.圆与圆的位置关系的常用结论

(1)两圆的位置与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．

(2)公共弦直线：当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．

7.圆与圆位置关系的判定

（1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：

位置关系

外离

外切

相交

内切

内含

图示

d与，的关系

_

_

（2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．

消元，一元二次方程

【题型一】点与圆的位置关系

【典例分析】

若点在圆外，则实数m的取值范围是（????）

A． B． C．（－2，0） D．（0，2）

【答案】B

【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，结合点在圆外，得到不等关系，求出实数m的取值范围.

【详解】整理为，

由题意得，解得:．故选：B

【提分秘籍】

基本规律

圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，点M(x0，y0)，则有：

(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＝0；

(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2r2，x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＞0；

(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2r2，x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＜0.

容易错误的点：

一定要把圆配成标准形式，保证右边是正数（半径平方有意义）

【变式演练】

1.已知点在外，则直线与圆的位置关系为（????）

A．相交

B．相切

C．相离

D．相交、相切、相离三种情况均有可能

【答案】A

【分析】结合点与圆的位置关系，直线和圆的位置关系列不等式，由此确定正确答案.

【详解】是圆C：外一点，

，

圆心到直线的距离：，直线与圆相交