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第六章

数学模型的概念

建立模型必须具备两个条件：（1）模型和原型之间有相似关系；（2）模型在科学认识过程中

是被研究客体的代表者，可以从对模型的研究中获得关于原型的信息。

模型的特征：（1）目的性.每一个模型，都是人们为了解决某一实际问题，自觉使用相应的

工具建构而成的．因此，目的性是模型的一个基本特征．（2）清晰性.在建构模型时，有

意识地舍弃了原型的一些不合目的性的非本质属性，从而使事物的本质属性在模型中比在原

型中体现得更为清晰，也更便于研究和运用．（3）准确性.模型必须准确反映原型的本质属

性（4）经济性

数学模型及其类型：数学模型按其性能可以分为概念性数学模型、方法性数学模型和结构性

数学模型．数学模型按其性能还可分为应用性数学模型、概括性数学模型和抽象性数学模型.

以函数为例，我们对这三类数学模型加以说明：

例：设一学生大学毕业后的四年中，用于买书的钱分别为：196，231，268，302元，根据

这四年他用于买书的钱，试估计他第五年用于买书的钱．

这4年该生用于买书的钱每年分别增加35，37，34元，基本上每年增加35元．可以认为时

间与书费基本上是成线性关系的．这就可求出时间和书费之间的一个函数关系为

用这一函数关系，可以估计出该生第五年用于买书的钱为337元．这一函数式是一个应用性

y=kx+b

数学模型．这一类的函数式又被概括为一般的线性函数,它就是

一个概括性数学模型。而各种各样不同种类的函数，通过进一步的抽象，就得到了函数的

概念．那么，函数概念就是一个抽象性数学模型．函数概念就是一个抽象性数学模型．

上述三类模型，实际上正是数学与其他学科及生产实际之间、纯数学和应用数学之间互相关

系的缩影．

数学模型的特征：数学模型具有一般模型的性质，更为基本的性质是高度的抽象性和经济性．

数学模型建构步骤1．掌握和分析客观原型的各种关系、数量形式。2．确定所研究原形的

本质属性，从而抓住问题的实质。3．在数学概念、语言表述、符号等基础上，建立数学模

型。4．对数学模型运演和检验。

中小学常见的数学模型：1．经济生产类方面的数学模型2．运动事物的数学模型3．概率统

计类的数学模型4．逻辑程序方面的数学模型

数学模型与中小学数学教学：1．通过对数学模型的构造深入地认识和理解数学的本质特征。

2．运用数学模型的直观形象作用，强化学生的数学感受能力

3．引导学生学会运用典型的数学模型方法，解决具体问题

小学数学课堂中的数学建模教学举例

《数学课程标准》要求“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过

程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步

和发展。”明确要求教师在教学中引导学生建立数学模型，不但要重视其结果，更要关注学

生自主建立数学模型的过程，让学生在进行探究性学习的过程中科学地、合理地、有效地建

立数学模型。

模式一：在经历体验、感受、归纳的过程中建立数学模型

案例：“有余数除法”教学片段

教学设计：按要求摆小棒活动（14根长度相等的小棒）。

用相1.同根数的小棒摆一种你喜欢的图形或数字，直到摆完14根小棒或余下的小棒不够

摆一个相同图形或数字为止

把摆小棒的过程与结果用除法计算表示2.（学生在反馈交流中，体验“余数一定比除数小”）

师：大家观察有余数的算式中的余数和除数，你能发现什么？

生：这些算式中除数都比余数大。

生：这些算式中的余数都比除数小。

师：谁能结合摆小棒的过程说一说为什么余数比除数小。

生：我用4根小棒摆一个正方形，一共摆了3个正方形，余下2根不够再摆一个正方形。

除数是4，余数是2，2比4小，所以余数比除数小。

师：谁能用一句话概括为什么余数比除数小？

解读：在这个活动中，学生的学习经历了操作、体验、感受和归纳概括的过程，自主有效地

建立了“余数一定比除数小”的数学模型。这一教学模式符合儿童的认知规律，使新学的知

识得到内化和升华

模式二：在经历猜测、验证、交流、归纳的过程中，建立数学模型

例如：教学圆锥的体积一课：

1、回顾、猜想。

师：请同学们回忆我们在学习圆柱的体积计算公式推导过程中，应用了哪些数学思维方法？

生：运用了