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专题21圆中的相似问题（解析版）

类型一求线段的长

典例1（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延

长线上的一点，且CF＝EF．

（1）求证：CF为⊙O的切线；

（2）连接BD，取BD的中点G，连接AG．若CF＝4，BF＝2，求AG的长．

思路引领：（1）如图，连接OC，OD．证明∠OCF＝90°即可；

222

（2）设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2，在Rt△COF中，4+r＝（r+2），可得r＝3，证明GH

1313

∥DO，推出=，可得BH=BO=，GH=OD=，由此即可解决问题．

2222

（1）证明：如图，连接OC，OD.

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC，

∵FC＝FE，

∴∠FCE＝∠FEC，

∵∠OED＝∠FEC，

∴∠OED＝∠FCE，

∵AB是直径，D是的中点，

∴∠DOE＝90°，

∴∠OED+∠ODC＝90°，

∴∠FCE+∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°，

∵OC是半径，

∴CF是⊙O的切线．

（2）解：过点G作GH⊥AB于点H．

设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2，

222

在Rt△COF中，4+r＝（r+2），

∴r＝3，

∵GH⊥AB，

∴∠GHB＝90°，

∵∠DOE＝90°，

∴∠GHB＝∠DOE，

∴GH∥DO，

∴=，

∵G为BD的中点，

1

∴BG=BD，

2

1313

∴BH=BO=，GH=OD=，

2222

39

∴AH＝AB﹣BH＝6−=，

22

39310

∴AG=2+2=(2)2+(2)2=2．

总结提升：本题属于圆综合题，考查了切线的判定，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．

变式训练

1．（2022•印江县三模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC、

BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE＝3，则AD的长为．

思路引领：先判断出△ABC与△DBE相似，求出BD，最后用勾股定理即可得出结论．

解：连接BE，

在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝10，

∴AC=2+2=52+102=55，

∵BD是圆的直径，

∴∠BED＝90°＝∠CBA，

∵∠BAC＝∠EDB，

∴△ABC∽△DEB，

∴=，

555

∴=，

3

∴DB＝35，

在Rt△ABD中，AD=2−2=25，

故答案为：25．

总结提升：此题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．

2．（2017•鞍山）如图，△ACE，△ACD均为直角三角形，∠ACE＝90°，∠ADC＝90°