高考数学总复习《椭圆》专项测试卷带答案.docx

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高考数学总复习《椭圆》专项测试卷带答案

学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________

复习要点1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.3.通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想.4.了解椭圆的简单应用．

一椭圆的概念

1．我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．

2．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数：

(1)若ac，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若ac，则集合P为空集．

二椭圆的标准方程和几何性质

标准

方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1

(ab0)

eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1

(ab0)

图形

性

质

范围

－a≤x≤a

－b≤y≤b

－b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性

对称轴：坐标轴

对称中心：原点

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴

长轴A1A2的长为2a；

短轴B1B2的长为2b

焦距

|F1F2|＝2c

焦点

F1(－c,0)，F2(c,0)

F1(0，－c)，F2(0，c)

离心率

e＝eq\f(c,a)∈(0,1)

a，b，c

的关系

c2＝a2－b2

常/用/结/论

椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.

一般常用定义＋余弦定理解决．

(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．

(2)S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|.

设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝2a，①,4c2＝m2＋n2－2mncosθ，②))

①2代入②得mn＝eq\f(2b2,1＋cosθ)，则S△F1PF2＝eq\f(1,2)mnsinθ＝eq\f(b2sinθ,1＋cosθ)＝eq\f(b2·2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2),2cos2\f(θ,2))＝b2taneq\f(θ,2).

(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.

(4)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.

(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.

1．判断下列结论是否正确．

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()

(2)eq\f(y2,m2)＋eq\f(x2,n2)＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．()

(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()

(4)方程mx2＋ny2＝1(m0，n0)表示的曲线是椭圆．()

2．(2024·重庆诊断)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()

A．长轴长为eq\f(1,2) B．焦距为eq\f(\r(,3),4)

C．短轴长为eq\f(1,4) D．离心率为eq\f(\r(,3),2)

解析：把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得eq\f(y2,\f(1,4))＋eq\f(x2,\f(1,16))＝1，所以a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)，c＝eq\f(\r(,3),4)，则长轴长2a＝1，焦距2c＝eq\f(\r(,3),2)，短轴长2b＝eq\f(1,2)，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(,3),2)，故选D.

答案：D

3．若方程eq\f(x2,5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．

解析：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－k0，,k－30，,5－k≠k－3，))解得3k5且k≠4.

答案：(3,4)∪(4,5)

4．(2024·广东深圳模拟)已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为eq\f(1,2)，则椭圆C的方程可以为____________．

解析：因为焦点在x轴上，所以设椭圆的方程为e