江苏专用2025版高考数学二轮复习专题四立体几何高考热点追踪四学案文苏教版.docVIP

PAGE

1-

高考热点追踪(四)

体积、表面积创新试题两例赏析

随着课改的深化，高考考查考生的创新意识已逐年增加，有些试题不仅“立意”新奇，而且在“求解途径、求解方法”上也力求创新．以下采纳空间几何体体积、表面积两例，加以剖析，以感受其“立意”之新、“求解”之新，从而领会其蕴含的创新意识和探究实力．

(2024·苏州模拟)某市为创建国家级旅游城市，市政府确定实施“景观工程”，对现有平顶的民用多层住宅进行“平改坡”．安排将平顶房屋改为尖顶，并铺上彩色瓦片．现对某幢房屋有如下两种改造方案：

方案1：坡顶如图1所示，为侧顶面是等腰三角形的直三棱柱，尖顶屋脊AA1的长度与房屋长度BB1等长，有两个坡面需铺上瓦片．

方案2：坡顶如图2所示，为由图1消去两端相同的两个三棱锥而得，尖顶屋脊DD1比房屋长度BB1短，有四个坡面需铺上瓦片．

若房屋长BB1＝2a，宽BC＝2b，屋脊高为h，试问哪种尖顶铺设的瓦片比较省？说明理由．

【解】作AE⊥BC,即AE⊥平面B1BCC1，AE为屋脊的高，故AE＝h．

由DB＝DC，得DE⊥BC，故AB＝eq\r(h2＋b2)．

设AD长为x，则DE＝eq\r(h2＋x2)，

所以，S△BCD＝eq\f(1,2)BC·DE＝eq\f(1,2)·2b·eq\r(h2＋x2)＝beq\r(h2＋x2)，S△ABD＋S△ACD＝xeq\r(h2＋b2)．

由于面积均为正数，所以只需比较(S△ABD＋S△ACD)2与(S△BCD)2的大小．

事实上：(S△ABD＋S△ACD)2－(S△BCD)2＝x2(h2＋b2)－b2(h2＋x2)＝x2h2－b2h2＝h2(x2－b2)．

所以分bx，b＝x，bx三种状况探讨，得结果为：

(1)若AD之长小于房屋宽度的一半时，图1尖顶铺设的瓦片较省；

(2)若AD之长等于房屋宽度的一半时，两种尖顶铺设的瓦片数相同；

(3)若AD之长大于房屋宽度的一半时，图2尖顶铺设的瓦片较省．

[名师点评]近些年来在高考中不仅有干脆求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题．即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托．因而要娴熟驾驭多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式．

(2024·南京、盐城模拟)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为4，侧棱长为a，过BC的截面为DBC．E为BC的中点且∠DEA＝30°．

(1)分别就a＝3和a＝1计算截面的面积；

(2)记该截面的面积为f(a)，求f(a)的最大值．

【解】(1)因为∠DEA＝30°，等边△ABC边长为4，

所以AE＝2eq\r(3)．

在Rt△DAE中，DA＝AE·tan∠DEA＝2．

①当a＝3时，D点在侧棱AA1上，截面为△BCD，

在Rt△DAE中，

DE＝eq\r(AD2＋AE2)＝4，

所以S△BCD＝eq\f(1,2)BC·DE＝eq\f(1,2)×4×4＝8．

②当a＝1时，D点在AA1延长线上，截面为梯形BCNM，因为AD＝2，AA1＝1，所以MN是△DBC的中位线，所以S梯形BCNM＝eq\f(3,4)S△DBC＝eq\f(3,4)×8＝6．

(2)当a≥2时，截面与正三棱柱ABC-A1B1C1的棱AA1相交于D点，此时截面为△BCD，其面积为S△BCD＝eq\f(1,2)BC·DE＝eq\f(1,2)×4×4＝8；

当0a2时，截面为梯形BCNM，但是始终有DA＝AE·tan∠DEA＝2，

由△BCD∽△MND，

得eq\f(DF,DE)＝eq\f(DA1,DA)＝eq\f(2－a,2)，

所以S梯形BCNM＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－a,2)))\s\up12(2)))×S△BCD＝eq\f(4a－a2,4)×8

＝2a(4－a)．

所以f(a)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8，a≥2，,2a（4－a），0a2，))

于是当a≥2时，该函数的最大值为8．

[名师点评]截面问题是立体几何题中的一类比较常见的题型，由于截面的“动态”性，使截得的结果也具有肯定的可变性．涉及多面体的截面问题，都要经过先确定截面形态，再解决问题的过程，本例通过变更侧棱长而变更了截面形态；也可以通过确定侧棱长，变更截面与底面所成角而变更截面形态．

平行问题是高考中热点问题，其中最重要的又是线线平行的判定，因为它是证明线面平行，面面平行的基础，下面举例解析线线平行的判定方法．

一、利用中位线定理得线线平行

题目中给出中点条件时，往往隐含着中位线的信息因素，利用中位线很简单寻求线线平行