江苏专用2025版高考数学二轮复习专题一集合常用逻辑用语不等式函数与导数第3讲基本初等函数函数与方程.docVIP

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第3讲基本初等函数、函数与方程及函数应用

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1．基本初等函数的图象与性质

第5题

江苏高考对初等函数的考查主要载体是二次函数、指数函数、对数函数及简洁的复合函数，多为中档题；考查函数性质的简洁综合运用，此类试题对恒等变形、等价转化的实力有肯定的要求，函数与方程、分类探讨、数形结合的数学思想通常会有所体现．函数实际应用题也是高考热点，常以求最值为问题归宿．

2．函数与方程

第14题

第14题

3．函数模型

第17题

1．必记的概念与定理

指数函数、对数函数和幂函数的图象及性质

(1)指数函数y＝ax(a0，a≠1)与对数函数y＝logax(a0，a≠1)的图象和性质，分0a1，a1两种状况，着重关注两函数图象中的两种状况的公共性质．

(2)幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较困难，当α0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；α0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．曲线在第一象限的凹凸性：α1时，曲线下凸；0α1时，曲线上凸；α0时，曲线下凸．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

假如函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连绵不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

2．记住几个常用的公式与结论

(1)对数式的五个运算公式

loga(MN)＝logaM＋logaN；logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；

logaMn＝nlogaM；alogaN＝N；logaN＝eq\f(logbN,logba)．(a0且a≠1，b0且b≠1，M0，N0)

提示：logaM－logaN≠loga(M－N)，logaM＋logaN≠loga(M＋N)．

(2)与二次函数有关的不等式恒成立问题

①ax2＋bx＋c0，a≠0恒成立的充要条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0，,b2－4ac0．))

②ax2＋bx＋c0，a≠0恒成立的充要条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0，,b2－4ac0．))

3．须要关注的易错易混点

(1)在比较幂值的大小时，必需结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，精确驾驭各个幂函数的图象和性质是解题的关键．

(2)解函数应用题常见的错误：①不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；②在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件．

基本初等函数的图象与性质

[典型例题]

(1)已知a＞b＞1．若logab＋logba＝eq\f(5,2)，ab＝ba，则a＝________，b＝________．

(2)已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大值．

【解析】(1)由于a＞b＞1，则logab∈(0，1)，因为logab＋logba＝eq\f(5,2)，即logab＋eq\f(1,logab)＝eq\f(5,2)，所以logab＝eq\f(1,2)或logab＝2(舍去)，所以aeq\s\up6(\f(1,2))＝b，即a＝b2，所以ab＝(b2)b＝b2b＝ba，所以a＝2b，b2＝2b，所以b＝2(b＝0舍去)，a＝4．

(2)由于a0，b0，ab＝8，所以b＝eq\f(8,a)．

所以log2a·log2(2b)＝log2a·log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,a)))＝log2a·(4－log2a)＝－(log2a－2)2＋4，

当且仅当log2a＝2，即a＝4时，log2a·log2(2b)取得最大值4．

【答案】(1)42(2)4

eq\a\vs4\al()

指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特殊是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围．

[对点训练]

1．(2024·南通市高三模拟)已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a0且a≠1，b∈R)的图象如图所示，则a＋b的值是________．

[解析]将(－3，0)，(0，－2)分别代入解析式得loga(－3＋b)＝0，logab＝－2，解得a＝eq\f(1,2)，b＝4，从而a＋b＝eq\f(9,2)．

[答案]eq\f(9,2)

2．使log2(－x)x＋1成立的x的取值范围是________．

[解析]作出函数y＝log2(－x)及y＝x＋1的图象．其中y＝log2(－x)及y＝log2x的图象关于y轴对称，视察图象(如图所示)知，－1x0，