高考数学专项题型点拨训练之平面向量.docx

2025年高考数学专项题型点拨训练

平面向量

【题型一】奔驰定理

【题型二】极化恒等式

【题型三】等和线

平面向量是近几年小题的热点必考题型，主要考察学生对于向量的转化也就是基底思想的熟练程度，包含了对于复杂知识的简单化也就是化归与转化的思想的掌握。近几年的向量也出现过单选的压轴题，考察的大多为向量的三大定理之一。还有新教材新加的投影向量也是今年的热门知识点。注意题目的问法，分清投影向量、向量的投影和投影向量的模之间的区别。

易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影

1.同方向单位向量：的同方向单位向量为，指的是方向和相同，模长为1的向量。

2.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影.

3.投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为.

4.向量在方向上的投影向量：设为、的夹角，则为在方向上的投影向量.

5.向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积.

易错提醒：1.投影和投影向量的模都是数量，区别在于投影有正负，投影向量的模永远是正值。

2.投影向量结果是向量，所以是其投影（大小）乘上其同方向单位向量（方向）。

例（多选）（2024·海南·模拟预测）已知向量，则（????）

A．若，则

B．在方向上的投影向量为

C．存在，使得在方向上投影向量的模为1

D．的取值范围为

变式1：（2024·辽宁鞍山·二模）已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

变式2：（多选）（2024·广东广州·一模）已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（????）

A． B．

C．向量，在上的投影向量相等 D．

变式3：（2024·青海·一模）已知向量，，则向量在方向上的投影为．

【题型一】奔驰定理

为内一点，，则.

重要结论：，，.

结论1：对于内的任意一点，若、、的面积分别为、、，则：

.

即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.

结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.

结论3：对于内的任意一点，若，则、、的面积之比为.

即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.

结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.

奔驰定理与三角形四心的关系：

一、三角形的“重心”

1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1

三角形中线向量式：AM

2、重心的性质：

（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

所以

二、三角形的“垂心”

垂心的定义：高的交点。

锐角三角形的垂心在三角形内；

直角三角形的垂心在直角顶点上；

钝角三角形的垂心在三角形外。

奔驰定理推论：S?BOC:

tanA?OA

三、三角形的“内心”

1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

2、常见内心向量式：P是?ABC的内心，

（1）ABPC+BC

其中a，b，c分别是?ABC的三边BC、AC、AB的长，

四、三角形的“外心”

1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等

2、常用外心向量式：O是?ABC的外心，

1、OA

2、OA

3、若OA+OB?AB=

【例1】（2021·四川凉山·三模）如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：

①若是的重心，则有；

②若成立，则是的内心；

③若，则；

④若是的外心，，，则.

则正确的命题有.

【例2】（多选）（22-23高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（????）

A．若，则为的重心

B．若为的内心，则

C．若，为的外心，则

D．若为的垂心，，则

【例3】（2024高一·江苏·专题练习）已知O是平面上的一个定点，A?B?C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（????）

A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心

【变式1】（2024·吉林·一模）在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、内心分别为，，，，若（其中），当取最大值时，（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式2】（22-2