四川省2024-2025学年高二上学期12月学情检测数学试卷（含答案解析）.docx

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四川省2024-2025学年高二上学期12月学情检测数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．某研究所进行新型作物种植实验，已知在第一次的试种中，种植300株植物，存活180株，由此估计，若试种2000株该植物，则可存活（???）

A．1000株 B．1200株 C．1500株 D．1800株

2．已知向量，，若，共线，则（???）

A． B．2 C． D．10

3．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C：的面积为，焦距为，则C的离心率为（???）

A． B． C． D．

4．已知圆：，圆：，则圆，的公切线条数为（???）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．已知四面体如图所示，点E为线段的中点，点F为的重心，则（???）

A． B．

C． D．

6．将一次学校数学模拟竞赛的成绩统计如下图所示，记本次模拟竞赛的成绩的中位数为，则（???）

A． B． C．75 D．

7．已知，点，点，则的最小值为（???）

A． B． C． D．

8．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M，N分别在C的左、右两支上，且M，N，三点共线，，且，若，则C的离心率（???）

A． B． C．3 D．

二、多选题

9．已知向量，，则（???）

A． B．

C． D．

10．已知一组样本数据：的平均数为，方差为，现由这组数据衍生得到新的样本数据：，其中，则（???）

A．新的样本数据的平均数为69 B．新的样本数据的平均数为65

C．新的样本数据的方差为270 D．新的样本数据的方差为360

11．已知为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于不同的两点，，则（???）

A．

B．若，则直线的斜率为

C．若的面积为16，则直线的倾斜角为或

D．若线段的中点为P，点P在C的准线上的射影为，则

三、填空题

12．数据70，20，30，90，50，120的下四分位数为.

13．已知四面体如图所示，其中为面积为的等边三角形，，点A在平面上的射影为点B，，的中点分别为M，N，则直线，所成角的余弦值为.

14．已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为.

四、解答题

15．已知点，，.

(1)求线段的垂直平分线的方程；

(2)已知圆过点，求圆的方程.

16．在数学课上，唐老师将班级分为男生、女生两个阵营，分别选出两位代表作答相应问题，已知男生代表作答正确的概率为，女生代表作答正确的概率为，且两位代表是否作答正确互不影响.

(1)若唐老师给出1个问题（男生、女生均作答此问题），求仅有一位代表答对问题的概率；

(2)若唐老师给出2个问题（男生、女生均作答这两个问题），求女生代表答对问题个数多于男生代表的概率.

17．已知抛物线C：的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线过点.

(1)求双曲线的方程；

(2)过点的直线与双曲线仅有1个交点，求直线的斜率.

18．如图，在三棱锥中，，，，二面角为直二面角，M为线段的中点，点N在线段上（不含端点位置）.

??

(1)若平面，求的值；

(2)若，求的值；

(3)若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值.

19．法国数学家加斯帕尔·蒙日是18世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆C：.，则称圆心在原点O，半径为的圆为“椭圆C的伴随圆”.已知椭圆C：的左焦点为，点在C上，且.

(1)求椭圆C的方程以及椭圆C的伴随圆的方程；

(2)将向上平移6个单位长度得到曲线，已知，动点E在曲线上，探究：是否存在定点，使得为定值，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(3)已知不过点A的直线l：与椭圆C交于M，N两点，点，分别在直线AM，AN上，证明：.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

C

C

B

D

A

B

B

ACD

BC

题号

11

答案

ACD

1．B

【分析】由题意求出存活率后列式求解即可.

【详解】第一次试种植物的存活率为，

故若第一次试种2000株，则可存活2000×0.6=1