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弧长和扇形的面积

教学目标：

认识扇形，会计算弧长和扇形的面积，通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知的能力。

重点难点：

1、重点：弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积。

2、难点：运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积。

教学过程：

一、发现弧长和扇形的面积的公式

1、弧长公式的推导。

如图1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗?（取3.14）我们容易看出这段铁轨是圆周长的,所以铁轨的长度≈（米）.

问题：上面求的是的圆心角所对的弧长，若圆心角为，如何计算它所对的弧长呢？

请同学们计算半径为，圆心角分别为、、、、所对的弧长。

等待同学们计算完毕，与同学们一起总结出弧长公式（这里关键是圆心角所对的弧长是多少，进而求出的圆心角所对的弧长。）

因此弧长的计算公式为

__________________________

练习：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。

2、扇形的面积。

如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形

问：右图中扇形有几个？

同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为的扇形面积是圆

面积的几分之几？进而求出圆心角的扇形面积。

如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积为

___.

因此扇形面积的计算公式为

————————或——————————

练习:1、如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的____________；

2、扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的度数是_________°.

3、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是_____________

二、例题讲解

例1、如图，圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长．

（π≈3.14）

例2、如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置上，设BC＝1，AC＝，则顶点A运动到A2的位置时，点A经过的路线有多长？点A经过的路线与直线所围成的图形的面积有多大？

例3、已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点。设弦AB的长为d，圆环面积S与d之间有怎样的数量关系？

例4、如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，为半径的圆两两相切于O1、O2、O3。求围成的图形面积（图中阴影部分）

例5、如图，正三角形ABC的边长为2,分别以A、B、C为圆心，1为半径画弧，与△ABC的内切圆O围成的图形为图中阴影部分。求阴影。

练习:P1471、2、3、4、5

1、2、3、4、5、

（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．

（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

（参考数据：1142＝12996，1152＝13225，1162＝13456或4.42＝19.36，4.52＝20.25，4.62＝21.16）

如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成和两个三角形（如图2所示）.将纸片沿直线（AB）方向平移（点始终在同一直线上），当点于点B重合时，停止平移.在平移过程中，与交于点E,与分别交于点F、P.

(1)当平移到如图3所示的位置时，猜想图中的与的数量关系，并证明你的猜想；

(2)设平移距离为，与重叠部分面积为，请写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围；

图1图3图2(3)对于（2）中的结论是否存在这样的的值，使重叠部分的面积等于原面积的.若存在，求x的值；若不存在，请说明理由.

图1

图3

图2