图的矩阵表示课件.pptx

图的矩阵表示ppt课件

CATALOGUE目录引言图的邻接矩阵表示图的关联矩阵表示图的拉普拉斯矩阵表示图的规范化拉普拉斯矩阵表示图的应用

01引言

0102什么是图图可以用来表示各种实际问题，如社交网络、交通网络、电路等。图是由顶点（或节点）和边组成的数学结构，用于表示对象之间的关系。

使用矩阵表示图可以方便地实现图的算法和操作，如遍历、有哪些信誉好的足球投注网站、最短路径等。矩阵表示法具有直观性和可操作性，方便程序员实现图算法。矩阵是一种方便的数学工具，可以用来表示和操作图的数据结构。为什么使用矩阵表示图

02图的邻接矩阵表示

邻接矩阵：用一个矩阵来表示图，矩阵的行和列都对应图中的顶点，如果两个顶点之间存在一条边，则矩阵中相应的元素为1，否则为0。邻接矩阵是一种常用的图的矩阵表示方法，适用于表示无向图和有向图。定义

邻接矩阵是一种直观的表示方法，可以清晰地展示图中各个顶点之间的关系。邻接矩阵的存储空间较大，特别是对于稀疏图（边数较少的图），邻接矩阵的存储空间利用率较低。通过邻接矩阵可以方便地计算图中顶点的度数、路径长度等基本属性。特点

对于一个包含4个顶点的无向图，其邻接矩阵可以表示为例子

```01101001例子

10010110例子

```其中，第i行第j列的元素为1表示第i个顶点和第j个顶点之间存在一条边，否则为0。例子

03图的关联矩阵表示

关联矩阵：一个$n\timesm$的矩阵，其中$n$表示图中的顶点数，$m$表示图中的边数。矩阵的行表示顶点，列表示边，如果第$i$个顶点和第$j$个顶点之间存在一条有向边，则矩阵的第$i$行第$j$列的元素为1，否则为0。定义

关联矩阵可以直观地表示图中顶点和边的关系，方便理解图的连接情况。直观性局限性应用场景对于大规模图或者稠密图，关联矩阵会非常庞大，占用大量存储空间和计算资源。适用于表示稀疏图和有向图。030201特点

假设有一个包含3个顶点和2条边的有向图，其关联矩阵可以表示为例子

$\begin{bmatrix}例子

010001100例子

end{bmatrix}$其中，第一行第二列的元素为1，表示从顶点1到顶点2有一条有向边；第二行第三列的元素为1，表示从顶点2到顶点3有一条有向边；第一行第三列和第二行第一列的元素为0，表示不存在从顶点1到顶点3和从顶点2到顶点1的有向边。例子

04图的拉普拉斯矩阵表示

拉普拉斯矩阵是用来描述一个图（无向图或有向图）的邻接矩阵和度矩阵之间的关系的一个矩阵。它是一个对称矩阵，对于无向图，其定义为：L=D-A，其中D是度矩阵，A是邻接矩阵。对于有向图，拉普拉斯矩阵定义为：L=D+A。定义

特点拉普拉斯矩阵的每一行和每一列的和表示了相应顶点的度。拉普拉斯矩阵的行列式被称为图的拉普拉斯多项式，它与图的连通性有关。如果一个图的拉普拉斯矩阵的所有特征值都是非负的，那么这个图是连通的。

对于一个简单的无向图，其邻接矩阵和度矩阵如下例子

邻接矩阵```0100例子

101001010010例子

03```01```02度矩阵例子

2222例子

例子```那么其拉普拉斯矩阵为

123```1-10012-10例子

例子0-12-100-12

VS```对于一个简单的有向图，其邻接矩阵和度矩阵如下例子

01邻接矩阵02```030100例子

001010010010例子

度矩阵``````例子

2121例子

```那么其拉普拉斯矩阵为例子

```1-10012-10例子

102-110-12```例子

05图的规范化拉普拉斯矩阵表示

在有向图中，规范化拉普拉斯矩阵的每个元素$L_{i,j}$定义为$A_{i,j}-D_{i,j}$或$A_{j,i}-D_{j,i}$，取决于是否存在从顶点i到顶点j的边。规范化拉普拉斯矩阵是描述图结构的一种数值矩阵，通过将图的邻接矩阵与图的度矩阵相减得到。在一个无向图中，规范化拉普拉斯矩阵的每个元素$L_{i,j}$定义为$A_{i,j}-D_{i,j}$，其中$A_{i,j}$是邻接矩阵的第i行第j列元素，$D_{i,j}$是度矩阵的第i行第j列元素。定义

规范化拉普拉斯矩阵是一个半正定矩阵，其所有对角线元素为0。规范化拉普拉斯矩阵的谱半径给出了图的最小生成树的大小。规范化拉普拉斯矩阵可以用于衡量图的连通性、聚类系数等结构特性。特点

例子对于一个简单的无向图，其邻接矩阵和度矩阵分别为

邻接矩阵$begin{bmatrix}例子

010010101例子

\end{bmatrix}$例子

度