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专题07 分类讨论思想在分段函数中的应用

【高考地位】

分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用.分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用.主要涉及分段函数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值问题.分类讨论思想，可培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力。

类型一 分段函数

万能模板

内 容

使用场景

分段函数

解题模板

第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；

第二步 通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解；第三步 得出结论.

?x2?4x?1,例1函数f(

?x2?4x?1,

?

x?0

x?0

，若实数a满足f(f(a))=1，则实数a的所有取值的和为（ ）

55A．1 B．17? C．?15? D．?2

5

5

16 16

?x?2,x??1

?【变式演练1】在函数y??x2, ?1?x?2

?

??2x,x?2

?

中，若f(x)?1，则x的值是（ ）

A．1 B．1或32

?????x2,x??0,

???

例2 已知函数fx ?

C．?1

3D．

3

在区间???,???上是增函数,则常数a的取值范围是

??x3?a2?3a?2,x????,0?

（ ）

学习界的007A．?1,2?

学习界的007

B．???,1???2,???

C．?1,2?

D．???,1???2,???

【变式演练2】【甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高三第一学期10月月考数学（理）】已知函数

f(x)?

f(x)??

1

? 2

x,1?x?18

，若f(a)?f(b)(a?b)，则b?a的取值范围为（ ）

??2x,1?x?2

?

?A．?0,3?

?

B．?0,7?

C．?0,9?

D．?0,15?

? 2??

? 4??

? 8??

? 8??

????(x?a)2,x?0,

?

?

?

?

例3 f(x)?? 1

若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为（ ）.

??x?x?a,x?0,

(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)[0,2]

??x?2?3,x?1

?

【变式演练3】已知函数f(x)?? x

，则f(f(?3))???，f(x)的最小值是 ．

??lg(x2?1),x?1

类型二 含参数函数的最值问题

万能模板

内 容

使用场景

含参函数在区间上的最值问题

解题模板

第一步 通过观察函数的特征，分析参数的位置在什么位置；

第二步 通过讨论含参函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论；

第三步 根据含参函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出其最值；

第四步 得出结论.

例4已知函数y?

f(x)是二次函数，且满足f(0)?3，f(?1)?

f(3)?0

（1）求y?

f(x)的解析式；

（2）若x?[t,t?2]，试将y?

f(x)的最大值表示成关于t的函数g(t)．

【变式演练4】【天津市静海区2020-2021学年高三上学期第一次月考】已知函数

?ax,x?1

??f?x??

??

4?

a?x?2,x?1

是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ）

?? 2?

?? ?

A．?1,???

B．?4,8?

C．?4,8?

D．?1,8?

例5.设函数f(x)?x2?ax?b,a,b?R．

当a?2时，记函数|f(x)|在[0，4]上的最大值为g(b)，求g(b)的最小值；

存在实数a，使得当x?[0,b]时，2?f(x)?6恒成立，求b的最大值及此时a的值．

【变式演练5】【2018年全国普通考试理科数学（北京卷）】设函数????=[a?2—?4a+1??+4a+?]e?．

若曲线yt??在点（1，??1?）处的切线与?轴平行，求a；

若????在?t2处取得极小