函数的连续性(课件).pptVIP

四、函数的连续性1.函数的增量(一)、连续的定义

2.连续的定义

01例102证03由定义2.9知

3.单侧连续性质2.14

例2解右连续但不左连续,

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.若f(x)在定义域内连续,则称f(x)为连续函数.定理2.3:基本初等函数在定义域内都是连续的.f(x)在(a,b)内连续:4.连续函数与连续区间

(二)、函数的间断点及类型

1x=2例4

第一类间断点01跳跃间断点01可去间断点注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.01

例5

2.第二类间断点例6解

解例7

注意不要以为函数的间断点只能是个别的几个点.12/1601狄利克雷函数030502在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点。04在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.

例8解

(三)、连续函数的性质

例如,结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.0102复合函数的连续性

定理1(有界性定理)设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界.连续但无界例如,定义:(四)、闭区间上连续函数的性质

定理2(最大、最小值定理)设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可取到最大值,最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.

Th3(介值定理)MCmab几何解释:

定义:推论(零点存在定理)几何解释:

注意(1)若f(x)在[a,b]上单调,则只有唯一零点.(2)若[a,b]改为(a,b)结论未必成立.在(1,2)连续,但Th2.6不成立.

例1证由零点定理,

01例202证03由零点定理,

01证:02在[0,1]连续,03由零点定理

函数在一点连续必须满足的三个条件;区间上的连续函数;第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)间断点的分类与判别;第一类间断点:可去型,跳跃型.(五)、小结

可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx

连续函数的和差积商的连续性.1复合函数的连续性.2初等函数的连续性.3求极限的又一种方法.4反函数的连续性.5四个定理6有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.7注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．8

下述命题是否正确？02思考题01

01思考题解答02不正确.03例函数

练习题

思考题

但反之不成立.例但

练习题

练习题答案