弧形、扇形公式解说和运用.docVIP

工程仿真网

弧形、扇形公式解说和运用

知识点1、弧长公式

因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，

说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。

（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。

?

知识点2、扇形的面积

如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。

又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。

?

知识点3、弓形的面积

（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。

（2）弓形的周长＝弦长＋弧长

（3）弓形的面积

如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。

当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，?

当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，

当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，

例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是（???????）（结果用表示）

分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以

，

所以

注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。

?

圆周长

弧长

圆面积

扇形面积

公

式

（2）扇形与弓形的联系与区别

（2）扇形与弓形的联系与区别

图

示

面

积

?

知识点4、圆锥的侧面积

圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积

说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。

知识点5、圆柱的侧面积

分析：将直角梯形ABCD绕BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。

解：作DH⊥BC于H，所以DH＝AB＝2

CH＝BC－BH＝BC－AD＝7－3＝4

在△CDH中，

所以

?

例5.（2003.宁波）已知扇形的圆心角为120°，面积为300平方厘米

（1）求扇形的弧长。

（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？

分析：（1）由扇形面积公式，可得扇形半径R，扇形的弧长可由弧长公式求得。（2）由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形ABC，（1）问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为C＝2r，底面圆半径r即CD的长可求，圆锥的高AD可在Rt△ADC中求得，所以可求。

解：（1）设扇形的半径为R，

由，得，解得R＝30.

所以扇形的弧长（厘米）。

（2）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝R＝30，BC＝2r，底面圆周长C＝2r，因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以

在Rt△ADC中，高AD＝

所以轴截面面积（平方厘米）。

?

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一、选择题

1.若一个扇形的圆心角是45°，面积为2л，则这个扇形的半径是（????）

A.4????B.2?C.47л????D.2л

2.扇形的圆心角是60°，则扇形的面积是所在图面积的（??????）

???A.???????B.??????C.????????D.

3.扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（???）

???A.90°?????B.??C.?????D.180°

4.两同心圆的圆心是O，大圆的半径是以OA，OB分别交小圆于点M，N．已知大圆半径是小圆半径的3倍，则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的（???）

A.2倍???B.3倍???C.6倍??????D.9倍

5.半圆O的直径为6cm，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积是（???）

???A.???B.???

C.????D.

6用一个半径长为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（???）

A.2cm????????B.3cm???????????C.4cm??????????D.6cm

7.圆锥的全面积和侧面积之比是3：2，这个圆