高考数学大题规范解答系列(二)——三角函数.DOCVIP

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高考大题规范解答系列(二)——三角函数

1．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0,|φ|eq\f(π,2))在它的某一个周期内的单调减区间是[eq\f(5π,12),eq\f(11π,12)]．将y＝f(x)的图象先向左平移eq\f(π,4)个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来的eq\f(1,2)倍(纵坐标不变),所得到的图象对应的函数记为g(x)．

(1)求g(x)的解析式；

(2)求g(x)在区间x∈[0,eq\f(π,4)]上的最大值和最小值．

[解析](1)由题意得,eq\f(T,2)＝eq\f(11π,12)－eq\f(5π,12)＝eq\f(π,2),

∴ω＝eq\f(2π,T)＝2,又sin(2·eq\f(5π,12)＋φ)＝1,∴φ＝－eq\f(π,3),

∴f(x)＝sin(2x－eq\f(π,3)),

将f(x)的图象向左平移eq\f(π,4)个单位,得sin[2(x＋eq\f(π,4))－eq\f(π,3)]＝sin(2x＋eq\f(π,6)),再将图象所有点横坐标变为原来的eq\f(1,2)得g(x),

∴g(x)＝sin(4x＋eq\f(π,6))．

(2)g(x)在x∈[0,eq\f(π,12)]为增函数,在x∈[eq\f(π,12),eq\f(π,4)]上为减函数,

∴g(x)max＝g(eq\f(π,12))＝1,g(x)min＝g(eq\f(π,4))＝－eq\f(1,2),故函数在x∈[0,eq\f(π,4)]上的最大值和最小值分别为1和－eq\f(1,2)．

2．已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω0),且f(x)的最小正周期为π．

(1)求函数f(x)的单调增区间；

(2)若f(eq\f(α,2)－eq\f(π,8))＝eq\f(\r(2),3),f(eq\f(β,2)－eq\f(π,8))＝eq\f(2\r(2),3),且α、β∈(－eq\f(π,2),eq\f(π,2)),求cos(α＋β)的值．

[解析](1)f(x)＝2cosωxsinωx＋cos2ωx

＝sin2ωx＋cos2ωx＝eq\r(2)sin(2ωx＋eq\f(π,4))．

∵f(x)的最小正周期为π,∴ω＝1

∴f(x)＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4)),

令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ,k∈Z,

得－eq\f(3π,8)＋kπ≤x≤eq\f(π,8)＋kπ,k∈Z．

∴函数f(x)的单调递增区间为[－eq\f(3π,8)＋kπ,eq\f(π,8)＋kπ],k∈Z．

(2)∵f(x)＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4)),且f(eq\f(α,2)－eq\f(π,8))＝eq\f(\r(2),3),

f(eq\f(β,2)－eq\f(π,8))＝eq\f(2\r(2),3),

∴sinα＝eq\f(1,3),sinβ＝eq\f(2,3),

∵α、β∈(－eq\f(π,2),eq\f(π,2)),

∴cosα＝eq\f(2\r(2),3),cosβ＝eq\f(\r(5),3)．

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

＝eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(5),3)－eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2\r(10)－2,9)．

3．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcosA＝(2c＋a)cos(π－B)．

(1)求角B的大小；

(2)若b＝4,△ABC的面积为eq\r(3),求△ABC的周长．

[解析](1)∵bcosA＝(2c＋a)cos(π－B),∴bcosA＝(2c＋a)(－cosB),

由正弦定理可得：sinBcosA＝(－2sinC－sinA)cosB,

∴sin(A＋B)＝－2sinCcosB＝sinC,又角C为△ABC内角,sinC0,∴cosB＝－eq\f(1,2),

又B∈(0,π),∴B＝eq\f(2π,3),

(2)由S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\r(3),得ac＝4,又b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16,∴a＋c＝2eq\r(5),所以△ABC的周长为4＋2eq\r(5)．

4．△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若向量m＝(cosB,cosC),n＝(2a＋c,b),且m⊥n．

(1)求角B的大小；

(2)若b＝7,a＋c＝8,求△ABC的面积．

[解析](1)∵m⊥n,∴cosB·(2a＋c)＋co