高考数学大题规范解答系列(一)——函数与导数.DOCVIP

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高考大题规范解答系列(一)——函数与导数

1．(2018·黑龙江哈尔滨市第三中学高三第一次模拟考试)已知函数f(x)＝lnx－ax＋eq\f(1－a,x)－1．

(1)当a＝－1时,求曲线y＝f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

(2)当a≤eq\f(1,2)时,讨论f(x)的单调性．

[解析](1)当a＝－1时,f(x)＝lnx＋x＋eq\f(2,x)－1,

f′(x)＝eq\f(1,x)＋1－eq\f(2,x2),

故f′(2)＝1,f(2)＝ln2＋2,

故所求切线方程为x－y＋ln2＝0．

(2)f(x)＝lnx－ax＋eq\f(1－a,x)－1

?f′(x)＝－eq\f(?ax＋a－1??x－1?,x2),

令f′(x)＝0?x1＝1,x2＝eq\f(1,a)－1,

当a≤0时,f(x)在(0,1)上单调递减,(1,＋∞)上单调递增,

当a＝eq\f(1,2)时,f(x)在(0,＋∞)上单调递减,

当0aeq\f(1,2)时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,eq\f(1,a)－1)上单调递增,在(eq\f(1,a)－1,＋∞)上单调递减．

2．(2019·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期开学考试)设函数f(x)＝eq\f(3x2＋ax,ex)(a∈R)．

(1)若f(x)在x＝0处取得极值,求实数a的值,并求此时曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若f(x)在[3,＋∞)上为减函数,求实数a的取值范围．

[解析](1)对f(x)求导得

f′(x)＝eq\f(?6x＋a?ex－?3x2＋ax?ex,?ex?2)＝eq\f(－3x2＋?6－a?x＋a,ex)．

因为f(x)在x＝0处取得极值,

所以f′(0)＝0,即a＝0．

当a＝0时,f(x)＝eq\f(3x2,ex),f′(x)＝eq\f(－3x2＋6x,ex),

由f′(x)0,0x2；f′(x)0有x0或x2,

故a＝0时,f(x)在x＝0处取得极值

f(1)＝eq\f(3,e),f′(1)＝eq\f(3,e),

从而f(x)在点(1,f(1))处的切线方程

y－eq\f(3,e)＝eq\f(3,e)(x－1),化简得3x－ey＝0．

(2)由(1)知f′(x)＝eq\f(－3x2＋?6－a?x＋a,ex),

令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a,由g(x)＝0,

解得x1＝eq\f(6－a－\r(a2＋36),6),x2＝eq\f(6－a＋\r(a2＋36),6)．

当xx1时,g(x)0,即f′(x)0,故f(x)为减函数；

当x1xx2时,g(x)0,即f′(x)0,故f(x)为增函数；

当xx2时,g(x)0,即f′(x)0,故f(x)为减函数．

由f(x)在[3,＋∞)上为减函数,

知x2＝eq\f(6－a＋\r(a2＋36),6)≤3,解得a≥－eq\f(9,2)．

故a的取值范围为[－eq\f(9,2),＋∞)．

3．(2018·吉林省长春市高三质量检测(二))已知函数f(x)＝ax－1－lnx(a0)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值,对任意x∈(0,＋∞),f(x)≥bx－2恒成立,求实数b的最大值．

[解析](1)f(x)的定义域为(0,＋∞),

f′(x)＝a－eq\f(1,x)＝eq\f(ax－1,x)．

当a0时,由f′(x)0,得0xeq\f(1,a)；

由f′(x)0,得xeq\f(1,a),

∴f(x)在(0,eq\f(1,a))上单调递减,在(eq\f(1,a),＋∞)上单调递增．

(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极值,

∴f′(1)＝a－1＝0,则a＝1,

从而f(x)＝x－1－lnx,x∈(0,＋∞)．

因此对任意x∈(0,＋∞),f(x)≥bx－2恒成立,

即对任意x∈(0,＋∞),1＋eq\f(1,x)－eq\f(lnx,x)≥b恒成立,

令g(x)＝1＋eq\f(1,x)－eq\f(lnx,x),则g′(x)＝eq\f(lnx－2,x2),

令g′(x)＝0,得x＝e2,则g(x)在(0,e2)上单调递减,在(e2＋∞)上单调递增,

∴g(x)min＝g(e2)＝1－eq\f(1,e2),∴b≤1－eq\f(1,e2)．

故实数b的最大值是1－eq\f(1,e2)．

4．(文)(2019·山东师大附中期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c,x∈[－1,2],且函数f(x)在x＝1和x＝－eq\f(2,3)处都取得极值．

(1)求实数a与b的值；

(2)对任意x∈[－1,2],方程f(x)＝2c存在三个实数根,求实数c的