第40讲 不定方程.docx

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教育教学经典文献

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第40讲不定方程

一、知识要点

当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：

x＝2.4x＝2.7x＝3.06x＝3.6

y＝1y＝1.5y＝2.1y＝3

如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。

解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。

对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。

解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。

二、精讲精练

【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。

先将原方程变形，y＝。可列表试验求解：

X

1

2

3

4

5

6

7

Y

5

×

×

×

2

×

×

所以方程3x+4y＝23的自然数解为

X=1x=5

Y=5y=2

练习1

1、求3x+2y＝25的自然数解。

2、求4x+5y＝37的自然数解。

3、求5x－3y＝16的最小自然数解。

【例题2】求下列方程组的正整数解。

5x+7y+3z＝25

3x－y－6z＝2

这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。

5x+7y+3z＝25①

3x－y－6z＝2②

由①×2+②，得13x+13y＝52

X+y＝4③

把③式变形，得y＝4－x。

因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.

当x＝1时，y＝3

当x＝2时，y＝2

当x＝3时，y＝1

把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。

x＝2，y＝2时，z也无正整数解。

x＝3时，y＝1时，z＝1.

所以，原方程组的正整数解为x＝1

y＝1

z＝1

练习2

求下面方程组的自然数解。

1、4x+3y－2z＝72、7x+9y+11z＝68

3x+2y+4z＝215x+7y+9z＝52

3、5x+7y+4z＝26

3x－y－6z＝2

【例题3】一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？

两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。

设大盒子有x个，小盒子有y个，则

12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9）

y＝（99－12y）÷5

经检验，符合条件的解有：x＝2x＝7

y＝15y＝3

所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。

练习3.

1、某校6（1）班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）

2、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？

3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？

【例题4】买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2

设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克。根据题意得：

4x+3y+2×（30－x－y）＝82

x＝10－

由式子可知：y20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：

苹果

9

8

7

6

5

4

3

2

1

橘子

2

4

6

8

10

12

14

16

18

梨