2025年高考数学二轮复习专题突破练13空间几何体的结构、表面积与体积.docxVIP

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专题突破练(分值:89分)

主干知识达标练

1.若一个正方体的顶点都在某个球面上,则该正方体的表面积与球的表面积的比值是()

A.2π3

C.3π

答案B

解析设正方体的边长为a,则正方体的体对角线长d=3a,则球的半径为32a,所以正方体的表面积为6a2,球的表面积为4π32a2=3πa2,所以该正方体的表面积与球的表面积的比值是6a23

2.(2024陕西宝鸡模拟)2023年3月11日,“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务,顺利返回三亚.“奋斗者”号模型图如图1所示,其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体,其轴截面如图2所示,则该模型球舱的体积为()

图1

图2

A.100π3cm3 B

C.106π3cm3 D

答案D

解析由模型的轴截面可知圆锥的底面半径为2cm,高为2cm,圆柱的底面半径为2cm,高为8cm,故该模型球舱的体积为13×π×22×2+π×22×8=104π3(cm3)

3.(2024山东淄博一模)某圆锥的侧面积为16π,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的底面半径长为()

A.2 B.4 C.22 D.42

答案C

解析设圆锥的母线长为l,底面半径为r,即侧面展开图的半径为l,侧面展开图的弧长为πl.又圆锥的底面周长为2πr,所以2πr=πl,即l=2r,所以圆锥的侧面积为πrl=2πr2=16π,解得r=22.故选C

4.(2024东北三省三校第一次联考)已知正四棱锥P-ABCD各顶点都在同一球面上,且正四棱锥底面边长为4,体积为643,则该球表面积为(

A.9π B.36π C.4π D.

答案B

解析

如图,点H为四边形ABCD的中心,连接PH,AH,则PH⊥平面ABCD.

因为正四棱锥底面边长为4,所以四边形ABCD的面积为16,且AH=12×42=22,所以13×PH×16=643,即PH=4.由题可得外接球的球心O在线段PH上,设外接球的半径为R,则OH=4-R,故R2=8+(4-R)2,解得R=3,故正四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为4×π×9=36

5.(2024湖南邵阳模拟)现准备给一半径为6cm的实心球体玩具制作一个圆台形带盖的纸质包装盒,要使制成的包装盒能装下该球体玩具,且该包装盒的下底面是半径为4cm的圆,则制成的包装盒的容积最小为()

A.133πcm3 B.399πcm3

C.266πcm3 D.532πcm3

答案D

解析

要使制成的包装盒的容积最小,则该球体玩具与包装盒的上、下底面及侧面都相切,作该圆台形包装盒的轴截面得等腰梯形ABCD如图所示,其中点O为球体玩具的球心,点F,E分别是圆台上、下底面圆的圆心,作AG⊥BC于点G,连接EF,则AG∥EF,AG=EF=12cm.

易知AB=BF+AE,BG=BF-AE,而AB2=AG2+BG2,即(BF+4)2=122+(BF-4)2,所以BF=9cm,所以该包装盒的容积最小为13π·EF·(BF2+BF·AE+AE2)=13π×12×(92+9×4+42)=532π(cm

6.(2024湖南常德模拟)我国有着丰富悠久的“印章文化”,古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成,本是官员或私人签署文件时代表身份的信物,后因其独特的文化内涵,也被作为装饰物来使用.明清时期的一个金属印章摆件如图所示,除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体,已知正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3∶1,且该几何体的顶点均在体积为36π的球的表面上,则该几何体的表面积为()

A.48+162 B.64+162

C.48+322 D.64+322

答案A

解析设球的半径为R,∵球的体积为36π,∴43πR3=36π,∴R=3.∵正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3∶1,且底面积相等,∴正四棱柱和正四棱锥的高相等,设正四棱柱和正四棱锥的高都为h,底面正方形的边长为a,作SH⊥底面ABCD,交平面EFGM于N,易知N,H分别为四边形EFGM、四边形ABCD的中心,根据对称性可知该几何体的外接球的直径为正四棱柱的体对角线,设球心为O,则O为NH中点,∴(2R)2=a2+a2+h2,即2a2+h2

又R=SO=?2+h,∴3=3?2,∴h=2,∴

如图,作SI⊥EF,则I为EF中点,连接NI,则SI=SN2+N

∴该几何体的表面积为4×12×4×22+4×4+4×(4×2)=48+162.故选C

7.(多选题)(2024新疆乌鲁木齐一模)如图,某个几何体是由棱长为40cm的正方体截去八个一样的四面体得到的,则()

A.该几何体有12个顶点

B.该几何体有24条棱

C.该几何体的表面积为(4800+8003)cm2

D