电磁场矢量分析.pptxVIP

1.1矢量及其代数运算

1.2圆柱坐标与球坐标

1.3矢量场*

1.4标量场*

1.5亥姆霍兹定理;1.1矢量及其代数运算;零矢(ZeroVector)：大小为零的矢量，又称空矢(NullVector)。

单位矢量（UnitVector)：大小为1的矢量。

3.位置矢量：从原点指向点P的矢量，用表示。

即空间中点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投

影唯一地被确定。

4.直角坐标系中，矢量可以表示为;1.1.2矢量的代数运算

设两个矢量为，，则;（右手螺旋）;3.矢量和：;1.3矢量场;1.3.1矢量场的矢量线(VectorLine);矢量线方程：;例1-1求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。

解：矢量线应满足的微分方程为;例1-2设点电荷q位于坐标原点，它在空间任一点P（x,y,z)处所产生的电场强度矢量为

求的矢量线方程画出矢量线图。

解：;;1.3.2矢量场的通量及散度;矢量场穿过整个曲面的通量为：;若，表示有净通量流出，说明封闭曲面内必定有产生流体的正源（Source）；

若，表示有净通量流入，说明封闭曲面内有吸收流体的负源（Sink,称之为沟）；

若，表示流入等于流出，此时内正源与负源的代数和为零，即没有源。;结论：

矢量场在闭合面上的通量是由面内的源决定的，它是一个积分量。它描绘闭合面内较大范围内的源的分布情况。

描述场中每一个点上源的性质，必须引入新的矢量，故引入矢量场的散度的概念。;称此极限为矢量场在点P处的散度。;2)哈密尔顿（Hamilton)算子

哈密顿算子是一个矢性微分算子，在直角坐标系中有：;在圆柱坐标系和球坐标系中，散度的表达式分别为;结论：

散度表示场中一点处的通量对体积的变化率。也就是说在该点处对一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处源的强度。

散度是一个标量，它描述的是场分量沿各自方向上的变化规律。故散度用于研究矢量场标量源在空间的分布状况。在P点处，

，表明在该点有散发通量之正源，称为源点；

，表明在该点有吸收通量之负源，称为汇点；

，表明在该点无通量源，称为连续或无散的。;3)高斯散度定理（DivergenceTheorem）;【例1-3】在矢量场中，有一个边长为1的立方体，它的一个顶点在坐标原点上，如图示。试求：

(1)矢量场的散度；

(2)从六面体内穿出的通量，并验证高斯散度定理。

解：(1)根据散度计算公式得，

(2)从单位立方体穿出的通量：;;1.3.3矢量场的环量和旋度;环量是矢量在大范围闭合曲线上的线积分，反映了闭合曲线内旋涡场的分布情况。要分析每个点附近旋涡源的分布情况，引入旋度。;1)环量密度;环量面密度与所围成的面元的方向有关：

如果围成的面元矢量与旋涡面的方向重合，则环量

面密度最大；如果所取面元矢量与旋涡面的方向之间有一

夹角，则环量面密度总小于最大值；如果面元矢量与旋涡

面的方向相垂直，则环量面密度为零。

即在给定点上，不同路径，环量面密度不同。故引入

旋度来限制给定点上的环量面密度。;矢量场的旋度描述了矢量在该点的旋涡源强度，若在

某区域中各点则称矢量场无无旋场或者保守场。;直角坐标系中，旋度的表达式为;3)斯托克斯定理（StokesTheorem）;【例1-4】已知一矢量场试求：

(1)该矢量场的旋度；

(2)该矢量场沿半径