机器人建模与控制课件：空间描述和变换.pptx

机器人建模与控制;

2.1.1笛卡尔直角坐标系

?交于原点的三条不共面的数轴(常称x轴、y轴和z轴)构成空间的放射坐标系

?三条数轴(主轴)上度量单位相等的放射坐标系称为空间笛卡尔坐标系

((空间笛卡尔直角右手坐标系

|空间笛卡尔直角坐标系〈

空间笛卡尔斜角坐标系;

2.1.2向量

?定义：向量是具有大小和方向的量

?几何上，可以用3维空间的有向线段表示3维向量，如：EF

?若两个向量长度相等、方向相同，则称这两个向量相等;

「1]「0]「0]

在{A}中，X八A,A和Z八A可分别表达为AXA=0YA=1ZA=0

|L0」||L0」||L1」|;

?两个3维向量OP与OQ的内积(数量积)定义为OP.OQ=OPOQcos99[0,几]

?内积是一个标量，零向量与任何向量的内积等于零;

将OP向单位向量OQ作投影，得到的投影向量为

(OP.OQ)OQ;

?在参考系{A}中，OP和OQ分别被表达为

「p]「q]

|Lpz」||Lqz」|

?OP和OQ的内积可按下式计算;

长度定义为OW=OPOQsin9

零向量与任何向量的外积是零向量，非零向量的外积也是零向量。

OW与OP和OQ均正交，

方向按右手螺旋法则确定：

右手大拇指伸直，弯曲其他

四指，指向由OP沿小于

180°的方向转向OQ，大拇

指的朝向即是OW的方向;

?对于右手参考系{A}，有Z八A=X八A人A,X八A=A人Z八A,A=Z八A人X八A

?OP和OQ以及它们的外积OW分别表达为

AP=p,AQ=q,AW=w=AP人AQ

|Lpz」||Lqz」||Lwz」|;

2.2.1点的位置描述

OA表示{A}的原点

X八A、A和Z八A分别表示{A}的x轴向、y轴向和z轴向的单位向量

在坐标系{A}中，空间任意一点P的位置

可表示为由其坐标构成的31向量表示;

2.2.2刚体的位置和姿态描述

设{B}是某物体的一个联体坐标系，即该物体上的任何一个点在{B}中的位置已知且始终不变

{B}的原点为OB，3个轴分别用X八B、B和Z八B表示;

X八

O

X八

AO

B

Z八

Z八

A;

任何一个旋转矩阵(对应于刚体的一个姿态)都属于SO(3)

SO(3)的任何一个元素都是旋转矩阵

SO(3)是全体旋转矩阵的集合

刚体的不同姿态与SO(3)中的不同旋转矩阵是一一对应的;

对于SO(3)中的任何一个矩阵

R=RxRyRz

有

RRx=1,RRy=1,RRz=1

RTR=RTR=RTR=0

xyxzyz

于是;

2.2.3齐次变换矩阵

在{A}中表示{B}的位姿(描述物体在{A}中的位姿):

齐次变换矩阵T=从4人4

定义集合;

RRx=1,RRy=1,RRz=1

RTR=RTR=RTR=0

xyxzyz

「RT]「RTRRTRRTR]「100]

于是，RTR=RRxRyRz=RRRRRR010

|LR」||LRRxRRyRRz」||L001」|

对于任何R=SO(3)，R可逆且R?1=RT

?R与R的关系

X八