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机器人建模与控制;
2.1.1笛卡尔直角坐标系
?交于原点的三条不共面的数轴(常称x轴、y轴和z轴)构成空间的放射坐标系
?三条数轴(主轴)上度量单位相等的放射坐标系称为空间笛卡尔坐标系
((空间笛卡尔直角右手坐标系
|空间笛卡尔直角坐标系〈
空间笛卡尔斜角坐标系;
2.1.2向量
?定义:向量是具有大小和方向的量
?几何上,可以用3维空间的有向线段表示3维向量,如:EF
?若两个向量长度相等、方向相同,则称这两个向量相等;
「1]「0]「0]
在{A}中,X八A,A和Z八A可分别表达为AXA=0YA=1ZA=0
|L0」||L0」||L1」|;
?两个3维向量OP与OQ的内积(数量积)定义为OP.OQ=OPOQcos99[0,几]
?内积是一个标量,零向量与任何向量的内积等于零;
将OP向单位向量OQ作投影,得到的投影向量为
(OP.OQ)OQ;
?在参考系{A}中,OP和OQ分别被表达为
「p]「q]
|Lpz」||Lqz」|
?OP和OQ的内积可按下式计算;
长度定义为OW=OPOQsin9
零向量与任何向量的外积是零向量,非零向量的外积也是零向量。
OW与OP和OQ均正交,
方向按右手螺旋法则确定:
右手大拇指伸直,弯曲其他
四指,指向由OP沿小于
180°的方向转向OQ,大拇
指的朝向即是OW的方向;
?对于右手参考系{A},有Z八A=X八A人A,X八A=A人Z八A,A=Z八A人X八A
?OP和OQ以及它们的外积OW分别表达为
AP=p,AQ=q,AW=w=AP人AQ
|Lpz」||Lqz」||Lwz」|;
2.2.1点的位置描述
OA表示{A}的原点
X八A、A和Z八A分别表示{A}的x轴向、y轴向和z轴向的单位向量
在坐标系{A}中,空间任意一点P的位置
可表示为由其坐标构成的31向量表示;
2.2.2刚体的位置和姿态描述
设{B}是某物体的一个联体坐标系,即该物体上的任何一个点在{B}中的位置已知且始终不变
{B}的原点为OB,3个轴分别用X八B、B和Z八B表示;
X八
O
X八
AO
B
Z八
Z八
A;
任何一个旋转矩阵(对应于刚体的一个姿态)都属于SO(3)
SO(3)的任何一个元素都是旋转矩阵
SO(3)是全体旋转矩阵的集合
刚体的不同姿态与SO(3)中的不同旋转矩阵是一一对应的;
对于SO(3)中的任何一个矩阵
R=RxRyRz
有
RRx=1,RRy=1,RRz=1
RTR=RTR=RTR=0
xyxzyz
于是;
2.2.3齐次变换矩阵
在{A}中表示{B}的位姿(描述物体在{A}中的位姿):
齐次变换矩阵T=从4人4
定义集合;
RRx=1,RRy=1,RRz=1
RTR=RTR=RTR=0
xyxzyz
「RT]「RTRRTRRTR]「100]
于是,RTR=RRxRyRz=RRRRRR010
|LR」||LRRxRRyRRz」||L001」|
对于任何R=SO(3),R可逆且R?1=RT
?R与R的关系
X八
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