高考数学总复习《平面向量基本定理及坐标表示》专项测试卷带答案.docx

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高考数学总复习《平面向量基本定理及坐标表示》专项测试卷带答案

学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________

复习要点1.理解平面向量的基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线的条件．

一平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．若e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底；若e1，e2分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底．

二平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．

三平面向量的坐标运算

1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).

2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up15(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).

四平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

(1)a∥b?x1y2－x2y1＝0；

(2)若a≠0，则与a平行的单位向量为±eq\f(a,|a|).

常/用/结/论

1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).

eq\o(OG,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→)))，你知道如何证明这个线性表达式吗？

1．判断下列结论是否正确．

(1)在△ABC中，{Aeq\o(B,\s\up15(→))，Ceq\o(A,\s\up15(→))}可以作为基底．(√)

(2)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变．(√)

(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2且μ1＝μ2.(√)

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).()

2．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝()

A．(－2，－1) B．(－2,1)

C．(－1,0) D．(－1,2)

解析：因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝eq\f(1,2)(1，1)－eq\f(3,2)(1，－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))＝(－1,2)．

答案：D

3．(2024·湖北宜昌阶段练习)已知向量a，b，c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则()

A．c＝－2a＋3b B．c＝2a－3b

C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b

解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(2,1)－(1,0)＝(1,1)，b＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，c＝(7,1)－(0,4)＝(7，－3)．

设c＝xa＋yb，则(7，－3)＝x(1,1)＋y(－2，3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7＝x－2y，,－3＝x＋3y，))解得x＝3，y＝－2，故c＝3a－2b.故选D.

答案：D

4．(2024·广西梧州摸底)已知{e1，e2}是表示平面α内所有向量的一个基底，且a＝e1＋e2，b＝3e1－2e2，c