高考数学总复习《正、余弦定理的应用》专项测试卷带答案.docx

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高考数学总复习《正、余弦定理的应用》专项测试卷带答案

学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a，b，c成等比数列，且cos(A－C)＋cosB＝eq\f(3,2).

(1)求角A，B，C；

(2)若b＝2，延长BC至点D，使△ABD的面积为eq\f(3\r(3),2)，求sin∠CAD．

2．(2024·河北唐山模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，acosC＋eq\f(\r(3),3)a·sinC＝b.

(1)求角A；

(2)若点D在BC边上，AD平分∠BAC，且AD＝eq\f(\r(2),3)，求△ABC的周长．

3．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB＋bcosA＝2ccos

C．

(1)求角C的大小；

(2)若△ABC为锐角三角形，求eq\f(a,b)的取值范围．

4．(2024·江苏南京师大附中测试)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足eq\f(2a,cosC)＝eq\f(b,cosB)＋eq\f(c,cosC).

(1)求角B的大小；

(2)若asinB＝12sinA，求△ABC面积的最大值．

高分推荐题

5．(2024·四川成都实验外国语学校月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且5(sinA＋sinC)b＝12asinC．

(1)若a＝2b－c，求cosB的值．

(2)是否存在△ABC，满足B为直角？若存在，求出△ABC的面积；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a，b，c成等比数列，且cos(A－C)＋cosB＝eq\f(3,2).

(1)求角A，B，C；

(2)若b＝2，延长BC至点D，使△ABD的面积为eq\f(3\r(3),2)，求sin∠CAD．

解：(1)由A＋B＋C＝π，得A＋C＝π－B，

∴cosB＝－cos(A＋C)，∴cos(A－C)＋cosB＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝eq\f(3,2)，

∴sinAsinC＝eq\f(3,4).

∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.

∴sin2B＝sinAsinC＝eq\f(3,4)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2).

方法一：∵|cosB|＝eq\f(1,2).

又∵cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)≥eq\f(2ac－ac,2ac)＝eq\f(1,2)，当且仅当a＝c时，等号成立，

∴cosB＝eq\f(1,2)，a＝c.

∵0Bπ，∴A＝B＝C＝eq\f(π,3).

方法二：若B＝eq\f(π,3)，则cosB＝eq\f(1,2)，

代入cos(A－C)＋cosB＝eq\f(3,2)，

得cos(A－C)＝1.

∵0Aπ，0Cπ，∴A＝C＝eq\f(π,3).

若B＝eq\f(2π,3)，则cosB＝－eq\f(1,2).

代入cos(A－C)＋cosB＝eq\f(3,2)，

得cos(A－C)＝2(舍去)．

综上，A＝B＝C＝eq\f(π,3).

(2)∵b＝2，∴AB＝2，

∴S△ABD＝eq\f(1,2)·AB·BD·sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2)，

即eq\f(1,2)×2×BD×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，∴BD＝3，

∴CD＝1.

在△ACD中，由余弦定理，得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠DCA＝22＋12－2×2×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝7.

∴AD＝eq\r(7).

又由正弦定理，得eq\f(AD,sin\f(2π,3))＝eq\f(CD,sin∠CAD)，

∴eq\f(\r(7),\f(\r(3),2))＝eq\f(1,sin∠CAD).

∴sin∠CAD＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(7))＝eq\f(\r(3),2\r(7))＝eq\f(\r(21),14).

2．(2024·河北唐山模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，acosC＋eq\f(\r(3),3)a·sinC＝b.

(1)求角A；

(2)若点D在BC边上，AD平分∠BAC，且AD＝eq\f(\r(2),3)，求△ABC