2025年课标高考文数每日习题真题分类专题七　不等式 (3)(带答案解析).docx

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专题七不等式

7.1不等式及其解法

应用篇知行合一

应用不等式在实际问题中的应用

1.(2024上海闵行期末,9)垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值,具有社会、经济、生态等几方面的效益.某地街道呈现东—西,南—北向的网格状,相邻街距都为1,两街道相交的点称为格点,若以互相垂直的两条街道所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(2,1),(2,3),(-2,4),(4,5),(6,6)为垃圾回收点,当格点(除回收点外)为垃圾集中回收站时,这6个回收点沿街道到回收站的路程的和最短.?

答案(2,4)

解析设格点的坐标为(x,y),则-2≤x≤6,1≤y≤6,根据绝对值三角不等式|a|+|b|≥|a-b|可知,横轴方向距离和d(x)=2|x+2|+2|x-2|+|x-4|+|x-6|=(|x+2|+|x-6|)+(|x+2|+|x-4|)+2|x-2|≥|(x+2)-(x-6)|+|(x+2)-(x-4)|+2×0=14,即d(x)的最小值是14,此时三个等号成立的条件是-2≤

即d(y)的最小值是9,此时三个等号成立的条件是1≤y

2.(2024届山西长治第八中学阶段测,19实际生活)某公司计划组织全体员工到省博物馆参观学习,出行的交通方式有两种:自驾或乘坐公司大巴,分析显示,当全体员工中x%(0x100)的成员选择自驾时,自驾类成员的人均所需时间满足函数f(x)=30,0

(1)若使乘坐公司大巴的成员人均所需时间少于自驾类成员的人均所需时间,则x应在什么范围内?

(2)求该公司全体员工到达省博物馆的人均所需时间g(x)的表达式,并通过单调性分析如何使人均所需时间最少.

解析(1)当0x≤30时,自驾类成员的人均所需时间为30分钟,而乘坐公司大巴的成员人均所需时间恒为40分钟,不满足题目要求;当30x100时,令2x+1

(2)当0x≤30时,g(x)=30(x%)+40(1-x%)=-0.1x+40;当30x100时,g(x)=2x+1

0x≤30时,g(x)单调递减,30x100时,g(x)图象的对称轴为直线x=32.5,g(x)的图象先减后增.

易知g(x)的图象在x=30处连续.

综上可知,当x∈(0,32.5]时,全体员工的人均所需时间随自驾人数的增加而减少,x=32.5时,全体员工的人均所需时间取到最小值,x∈(32.5,100)时,全体员工的人均所需时间随自驾人数的增加而增加.