2025年课标高考文数每日习题真题分类专题三　导数及其应用 (4)(带答案解析).docx

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专题三导数及其应用

3.2导数的应用

应用篇知行合一

应用利用导数研究三次函数的性质

1.(2024安徽宣城调研,12探索创新情境)若函数f(x)=x3-3ax2+12x(a0)存在两个极值点x1,x2,则f(x1)+f(x2)的取值范围是()

A.(-∞,18)B.(-∞,18]

C.(-∞,16]D.(-∞,16)

答案D由f(x)=x3-3ax2+12x(a0),得f(x)=3x2-6ax+12,因为函数f(x)存在两个极值点x1,x2,所以方程3x2-6ax+12=0的根的判别式Δ=36a2-4×3×120,即a2(舍负),则x1+x2=2a,x1x2=4,f(x1)+f(x2)=x13-3ax12+12x1+(x23-3ax22+12x2)=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)-3a[(x1+x2)2-2x1x2]+12(x1+x2)=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]-3a[(x1+x2)2-2x1x

设g(a)=-4a3+24a,则g(a)=-12a2+24=-12(a2-2),当a2时,g(a)0,则g(a)在(2,+∞)上单调递减.所以g(a)g(2)=16,所以f(x1)+f(x2)的取值范围是(-∞,16),故选D.

2.(2024山东潍坊统考,8)当直线kx-y-k+1=0(k∈R)和曲线E:y=ax3+bx2+53(ab≠0)交于A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1x2x3

A.0B.1

C.2D.3

答案C直线kx-y-k+1=0(k∈R)过定点(1,1),由题意可知定点(1,1)是曲线E:y=ax3+bx2+53

∴a+b+53=1,-b3a=1,解得a=13,b=-1,∴曲线E:y=13x3-x2

∴切线的方程为y-13x03-x0

又直线过定点-1,13,∴13-13x03-x02+53=(x0

3.(多选)(2024济南月考,12)经研究发现:任意一个三次多项式函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象都只有一个对称中心(x0,f(x0)),其中x0是f″(x)=0的根,f(x)是f(x)的导数,f″(x)是f(x)的导数.若函数f(x)=x3+ax2+x+b图象的对称中心为(-1,2),且不等式ex-mxe(lnx+1)≥[f(x)-x3-3x2+e]xe对任意x∈(1,+∞)恒成立,则()

A.a=3

B.b=1

C.m的值可能是-e

D.m的值可能是-1

答案ABC由题意可得f(-1)=-1+a-1+b=2,因为f(x)=3x2+2ax+1,所以f″(x)=6x+2a,所以f″(-1)=-6+2a=0,解得a=3,则b=1,故f(x)=x3+3x2+x+1.ex-mxe(lnx+1)≥[f(x)-x3-3x2+e]xe对任意x∈(1,+∞)恒成立等价于m≤x-e

设g(x)=ex-x-1(x≥0),则g(x)=ex-1≥0,从而g(x)在[0,+∞)上单调递增.

因为g(0)=0,所以g(x)≥0,即ex≥x+1,则x-eex=elnx-e

4.(2024百师联盟第四次测试,13)若函数f(x)=x3+2ax2+ax-1在(0,1)上存在唯一极值点,则实数a的取值范围是.?

答案-

解析由三次函数图象特点知,其最多有1个极大值点和1个极小值点.f(x)=3x2+4ax+a,若f(x)在(0,1)上存在唯一极值点,则f(0)·f(1)0?a·(3+4a+a)0?a∈-3

5.(2024山东淄博一模,13)已知等比数列{an}中,首项a1=2,公比q1,a2,a3是函数f(x)=13x3-6x2+32x的两个极值点,则数列{an}的前9项和是

答案1022

解析由f(x)=13x3-6x2+32x得f(x)=x2-12x+32,因为a2,a3是函数f(x)=13x3-6x2+32x的两个极值点,所以a2,a3是函数f(x)=x2-12x+32的两个零点.故a2+a3=12,a2·a3

6.(2024届安徽淮南一中月考三,22探索创新情境)对于函数f(x),若f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点.设f(x)=x3+ax2+bx+3.

(1)当a=0时,

(i)求f(x)的极值点;

(ii)若存在x0既是f(x)的极值点,也是f(x)的不动点,求b的值;

(2)是否存在实数a,b,使得f(x)有两个极值点,且这两个极值点均为f(x)的不动点?判断并说明理由.

解析(1)当a=0时,f(x)=x3+bx+3,f(x)=3x2+b