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§2.3函数的奇偶性与周期性
考情考向分析以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主,常与函数的单调性、周期性交汇命题,加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识,题型以填空题为主,中等偏上难度.
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地,假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地,假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),假如存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
概念方法微思索
1.假如已知函数f(x),g(x)的奇偶性,那么函数f(x)±g(x),f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论?
提示在函数f(x),g(x)公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
2.已知函数f(x)满意下列条件,你能得到什么结论?
(1)f(x+a)=-f(x)(a≠0).
(2)f(x+a)=eq\f(1,f?x?)(a≠0).
(3)f(x+a)=f(x+b)(a≠b).
提示(1)T=2|a|(2)T=2|a|(3)T=|a-b|
题组一思索辨析
1.推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数.(×)
(2)偶函数的图象不肯定过原点,奇函数的图象肯定过原点.(×)
(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.(√)
(4)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.(√)
题组二教材改编
2.[P45习题T11]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x(1+x),则f(-1)=________.
答案-2
解析f(1)=1×2=2,又f(x)为奇函数,
∴f(-1)=-f(1)=-2.
3.[P43练习T4]函数y=f(x)为(-∞,+∞)上的偶函数,且f(|a|)=3,则f(-a)=________.
答案3
解析若a≥0,则f(-a)=f(a)=f(|a|)=3;
若a0,则f(-a)=f(|a|)=3.
故对a∈R,总有f(-a)=3.
4.[P45习题T8]若函数f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数,则a=________.
答案1
解析∵f(x)=(x+1)(x-a)=x2+(1-a)x-a为偶函数,
∴f(-x)=f(x)对x∈R恒成立,
∴(1-a)x=(a-1)x恒成立,∴1-a=0,∴a=1.
题组三易错自纠
5.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是________.
答案eq\f(1,3)
解析∵f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,∴a-1+2a=0,∴a=eq\f(1,3).
又f(-x)=f(x),∴b=0,∴a+b=eq\f(1,3).
6.已知定义在R上的奇函数f(x)满意f(x+3)=f(x),且当x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(3,2)))时,f(x)=-x3,则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))=________.
答案eq\f(1,8)
解析由f(x+3)=f(x)知函数f(x)的周期为3,又函数f(x)为奇函数,所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)))=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))=-feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3=eq\f(1,8).
题型一函数奇偶性的推断
例1推断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=eq\r(36-x2)+eq\r(x2-36);
(2)f(x)=eq\f(ln?1-x2?,|x-2|-2);
(3)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+x,x0,,-x2+x,x0.))
解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(36-x2≥0,,x2-36
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