（浙江版）高考数学复习： 专题4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数（讲）.docVIP

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第01节任意角和弧度制及任意角的三角函数

【考纲解读】

考点

考纲内容

5年统计

分析预测

1.任意角的概念、弧度制

了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.

无

1.三角函数的定义；

2.扇形的面积、弧长及圆心角.

3.备考重点：

(1)理解三角函数的定义；

(2)掌握扇形的弧长及面积计算公式.

2.三角函数的定义

理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.

无

【知识清单】

1．象限角及终边相同的角

1．任意角、角的分类：

①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．

②按终边位置不同分为象限角和轴线角．

(2)终边相同的角：

终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．

2.弧度制：

①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．

③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值eq\f(l,r)与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．

3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．

对点练习：

下列与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是()

A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋eq\f(9,4)π(k∈Z)

C.k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)

【答案】C.

确.

2．三角函数的定义

1.任意角的三角函数定义：

设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．

三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦

3.三角函数线

设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.

三角函数线

有向线段MP为正弦线

有向线段OM为余弦线

有向线段AT为正切线

对点练习：

【河南省林州一中2017-2018上学期开学】已知角终边经过点，则（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】由于，所以由三角函数的定义可得，应选答案B.

3.扇形的弧长及面积公式

弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2.

对点练习：

已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.

(1)若α＝60°，R＝10cm，

(2)已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2

(3)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，

【答案】(1)eq\f(10π,3)(cm).(2)圆心角为eq\f(1,2).(3)l＝10，α＝2.

【解析】(1)α＝60°＝eq\f(π,3)rad，∴l＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm).

【考点深度剖析】

高考对任意角三角函数定义的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求学生深刻认识利用坐标法定义任意角三角函数的背景和目的．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．

【重点难点突破】

考点1象限角及终边相同的角

【1-1】已知角α＝45°，

(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；

(2)设集合，判断两集合的关系．

【答案】（1）β＝－675°或β＝－315°.(2).

【解析】(1)所有与角α有相同终边的角可表示为：

β＝45°＋k×360°(k∈Z)，

则令－720°≤45°＋k×360°0°，

得－765°≤k×360°－45°，解得－eq\f(765,360)≤k－eq\f(45,360)，

从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.

(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；

而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而.

【1-2】若且，则角θ的终边所在象限是(