高考数学专项题型点拨训练之函数性质.docx

2025年高考数学专项题型点拨训练

函数性质

【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数

【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称

【题型三】轴对称

【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性

【题型五】画图：类周期函数

【题型六】恒成立和存在型问题

【题型七】嵌套函数

函数知识无处不在，它可以和任何知识结合起来考察，尤其是由数学语言来判断函数的周期或者对称轴以及对称中心，再解决相应的问题，所以熟练掌握函数的基本性质是基础，而高考考察的即为延申的代数问题，包括抽象函数的理解和图像的变化。对于高三的学生，需要把常见的结论以及数学语言的理解熟练于心，才能保证做题的速度与准确度。

易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题

若f(x)都可以唯一表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，当h(x)?m时，则f(x)关于点(0，m)中心对称，即可以理解为将奇函数g(x)向上平移了m个单位，即f(x)?f(?x)?2f(0)?2m；当h(x)?m时，则有f(x)?f(?x)?2h(x)．

推论若f(x)?g(x)?m，则f(x)max＋f(x)min?2f(0)?2m．

例（1）已知f(x)=，则．

（2）已知f(x)=，则．

（3）已知函数，则．

（4）已知函数，则．

注意辨别奇函数g(x)和常数项m后直接用f(x)?f(?x)?2f(0)?2m来破解．

变式1：（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（????）

A． B．

C． D．

变式2：（2024·广西·二模）已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（????）

A．的图象关于点对称

B．函数的图象关于直线对称

C．函数的周期为2

D．

【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数

中心对称的数学语言：

若满足，则关于中心对称

三次函数的对称中心的横坐标即为二次求导的零点。

【例1】（2024·陕西西安·三模）已知函数，若，则的取值范围为．

【例2】（多选）（2024·重庆·模拟预测）函数，，那么（???）

A．是偶函数 B．是奇函数

C．是奇函数 D．是奇函数

【例3】（多选）（2024·湖南娄底·一模）已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足：，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（????）

A． B．

C．在定义域内单调递减 D．为奇函数

【变式1】（2024·江西上饶·二模）定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（????）

A．28 B．16 C．20 D．12

【变式2】（2024·全国·模拟预测）函数的部分图象为（????）

A． B．

C． D．

【变式3】（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中.

(1)求证：是奇函数；

(2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围.

【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称

1.三角函数的对称中心（对称轴）有无数个，适当结合条件确定合适。

2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心。一般情况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点

【例1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（???）

A． B． C． D．

【例2】（2024·湖南·模拟预测）已知函数满足，，当时，，则函数在内的零点个数为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【变式1】（多选）（2024·江苏·一模）已知函数，则（????）

A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称

C．不等式无解 D．的最大值为

【变式2】（2024·河南·一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，记.且，，当，，则.（用数字作答）

【题型三】轴对称

数学语言：

函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称；

2.如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.

3.与关于直线对称。

常见的偶函数：

【例1】（多选）（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数的定义域为，且为偶函数，则（????）

A． B．为奇函数

C． D．

【例2】（2024·宁夏银川·二模）定义域为的函数满足为偶函数，且当时，恒成立，若，，，则，，的大小关系为（????）

A． B． C． D．

【例3】（2024·全国·模拟预测）设是定义域为的偶函数，且为奇函数.若，则（????）

A． B． C． D．

【变式1】（2024·全国·模拟预测）若定义在