高考数学核心素养提升练习 利用导数研究函数的单调性.docVIP

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核心素养提升练十四利用导数研究函数的单调性

(30分钟60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.设函数f(x)=x2-12x+b，则下列结论正确的是 ()

A.函数f(x)在(-∞，-1)上单调递增

B.函数f(x)在(-∞，-1)上单调递减

C.若b=-6，则函数f(x)的图象在点(-2，f(-2))处的切线方程为y=10

D.若b=0，则函数f(x)的图象与直线y=10只有一个公共点

【解析】选B.由于函数f(x)=x2-12x+b的对称轴为x=6，故函数f(x)在(-∞，6)上单调递减，故A不正确，B正确;若b=-6，由于点(-2，f(-2))即点(-2，22)，f′(-2)=-16，故函数f(x)的图象在点(-2，f(-2))处的切线方程为y-22=-16(x+2)，故C不正确;若b=0，则函数f(x)=x2-12x=(x-6)2-36的图象与直线y=10有两个公共点，故D不正确.

2.若函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x).若f′(x)3恒成立，f(-2)=0，则f(x)3x+6解集为 ()

A.(-∞，-2) B.(-2，2)

C.(-∞，2) D.(-2，+∞)

【解析】选D.由已知有f(x)-3x-60，令g(x)=f(x)-3x-6，则g′(x)=f′(x)-30，函数g(x)在R上单调递减，g(-2)=f(-2)-3×(-2)-6=0，由g(x)0有g(x)g(-2)，则x-2.

3.已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则g(x)=exf

A.在区间(0，1)上是减函数

B.在区间(1，4)上是减函数

C.在区间1,

D.在区间43

【解析】选C.当x=0或x=2时，f(x)=0，则函数g(x)=exf(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，2)∪(2，+∞)，排除选项B，D;g′(x)=ex(f(x)-f(x))f2(x)，由图易得当x∈(0，1)时，f(x)f′(x)，即g′(x)=ex(f(x)-f(x))f2(x)0

4.已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)恒为正数且符合f(x)f′(x)2f(x)，则f(1)∶f(2)的取值范围为 ()

A.(e，2e) B.1

C.(e，e3) D.1

【解析】选D.令g(x)=f(x)ex，h(x)=f(x)e2

所以g(1)g(2)，h(1)h(2)，

所以f(1)ef(

所以1e2f(

5.若函数f(x)=12sin2x+acosx在(0，π)上单调递增，则a

()

A.(-∞，-1] B.[-1，+∞)

C.(-∞，1] D.[1，+∞)

【解析】选A.因为f(x)=12sin2x+acosx在区间(0，π)上是增函数，所以f′(x)=cos2x-asinx≥0，所以1-2sin2x-asinx≥0，令t=sinx，则-2t2-at+1≥0，t∈(0，1]，所以a≤-2t+1t，令g(t)=-2t+1t，则g′(t)=-2-1t2≤0，所以g(t)在t∈(0，1]上递减

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.若函数f(x)=x+asinx在R上递增，则实数a的取值范围为________.?

【解析】因为f(x)=x+asinx在R上递增，

所以f′(x)=1+acosx≥0在R上恒成立，

cosx∈[-1，1].

①当a0时，-a≤acosx≤a，

所以-a≥-1，

所以0a≤1.

②当a=0时，符合要求.

③当a0时，a≤acosx≤-a，

所以a≥-1，

所以-1≤a0.

综上-1≤a≤1.

答案:[-1，1]

7.函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)=f(2-x)，且当x∈(-∞，1)时，(x-1)f′(x)0，设a=f(0)，b=f12，c=f(3)，则a，b，c的大小关系为________

【解析】依题意得当x1时f′(x)0，f(x)为增函数，又f(3)=f(-1)且-100.51，因此有f(-1)f(0)f(0.5)，即有f(3)f(0)f(0.5)，cab.

答案:cab

8.(2018·秦皇岛模拟)已知函数f(x)=lnx，g(x)=12ax2+2x，a≠0.若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1，4]上单调递减，则a的取值范围为________

【解析】h(x)=lnx-12ax2-2x，x∈(0，+∞)

所以h′(x)=1x-ax-2.因为h(x)在[1，4]上单调递减

所以当x∈[1，4]时，h′(x)=1x-ax-2≤0恒成立

即a≥1x2-2

令G(x)=1x2-2x，则a≥

而G(x)=1x

因为x∈[1，4]，所以1x∈1

所以G(x)max=-716(此时x=4)，所以a≥