《量子力学》第8讲不确定度关系的严格证明.pptxVIP

量子力学

连续谱本征函数的归一化不确定关系的严格证明

算符的共同本征函数

1

作业4

题、在时间t=0时，一维线性皆振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态：

其中u(x)为第n个时间无关的本征函数。

(1)求C₃的值；

(2)写出t时刻的波函数；

(3)在t=0时的振子能量的期望值为多少?

t=1时又如何?

第二草，练习1,2,习题3.8(09/29-10/08

回

顾

算

符

的

对

易

关

系

:

[

坐

标

动

量

基

本

对

易

关

系

x,

Px

]=

in

符

厄

米

算

定

义

A

+

=

A

=

A

*

厄

米

算

符

的

性

质

实

验

上

的

可

观察

量

,

厄密

算

符

。

米

符

的

征

值

征

厄

算

及

本

态

:

角

动

量

算

符

、

及

对

易

系

关

3

本

连续谱本征函数的归一化与O函数

三、不确定度关系的严格证明

四、算符的共同本征函数

五、习题

目录

连续谱本征函数

人十

4

一、连续谱本征函数(1)

1、动量x分量的本征值与本征函数

设本征函数和本征值为y和px,

4Px=Cexp

∵x∈(-,o),则p∈(-0,),连续变化。

ψp,→连续谱本征函数

不能用通常的方式归一化。

5

一、连续谱本征函数(2)

2、一维自由粒子的能量本征态

一维自由粒子的Hamilton量为

能量本征方程

yE(x)=Ce+i*,E=h²k²/2m≥0,k=√2mE/h≥0

ψE(x)=Ce±ikc也是连续谱本征函数，也不能用通常的方式归一化。

6

连

续

谱

本

征

函

数

“

归

一

化

”

与

O

二

、

的

函

数

(

)

)

O

函

的

定

性

(

一

义

与

质

或

1

、

定

义

2

、

性

质

(2

)

δ(

-

x)

=

δ

(x

);

(

3)

δ

(x

)d

x

=

δ(

x)

d

x

=

(

ε

0

);

(

亦

可

作

为

定

义

)

G

(

4)

(

5)

xδ

(

x)

=

0

7

数

(二)O函数的积分表达式

f(x)在x=x。的一个邻域内连续，则

二、连续谱本征函数的“归一化”与O函数(2)

(1)

(2)

(3)

由Fourier积分公式，有

对比(1)和(2),有

8

二、连续谱本征函数的“归一化”与O函数(3)

(三)连续谱本征函数的“归

动量本征态为yp=Cexp(ipxx/h),

做积分

对比(3)式：

9

、

连

续

谱

本

征

函

数

的

“

归

一

化

”

与

O

函

数

(

4)

二

(

三

)

连

续

谱

本

征

函

数

的

“

归

一

化

”

(2

)

x

δ(

x)

=

0,

∴

(x

-

x)

δ

(x

-

x)

=

0

→

x

δ(

x

x

δ(

-

x)

=

x

-

x)

,(

X)

:

=δ

(

x

-

x

)

为

坐

标

本

征

态

,x

为

本

征

值

做

积

已

知

0

二、连续谱本征函数的

“归一化”与O函数

(四)连续谱本

征函数的“归一化

”困难

无论

动

都没有严格地解决归一化的问题。这就是量子大

学中连续谱波函数的归一化困难。解决的方式有

1、分布理论，A.Megsiah,QuantumMechanics

2、箱归一化方法，曾

谨言

,

量

子力

学

,

科学出版社，1984

11

还是坐

(5)

上册

三、不确定度关系的严格证明(1)

付x和p,VA和B为厄密算符，

△AAB≥I[A,B]/2

√波函数

做积

12

*

三、不确定度关系的严格证明(2)

注意

13

*

三

、

不

确

定

度

关

系

的

严

格

证

明

(3

)

0

≤

I

(E

)

,B

ψ

)

为什么

(Ay,Ay)=(y,A²y)

By,Ay)=(y,BAy)

其

中

,

C

=

-i

[A

,

B]

=

C

+

厄密算符?

4

三

、

不

确

定

度

关

系

的

严

格

证

明

(

4)

≤

I

(

S)

=

0

ξ

∈

R,

且

A

,

∈

R

,∴

可

C

·V

C

令

ξ

2

A

²

∴√

A

²

B

²

≥

C

/

2

=|

[A

,

B]

|

/2

5

三

不

确

定

度

关

系

的

格

证

明

(

、

严

5)

²

=

[

A

√

A

B²

≥

C

/

2

,

B

,]

|

/

2

∵

V

A

,

B

∈

厄

密

,

A

→

△

A

=

A

-

A

,

B

→

△

B

=

B

-