《量子力学》第9讲力学量完全集与守恒量.pptxVIP

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1

连续谱本征函数的归一化

坐标算符的本征函数δ(x-x)

云刀亩工有上众

动量

2

算符的对易关系——不确定度关系

VA和B为厄密算符，

△A△B=?

∴√(△A)²(△B)²≥1[A,B]|/2

简记为△A△B≥|[A,B]|/2

算符的对易关系——共同本征函数Px,Py,P₂)r(x,y,z)

3

四、共同本征函数(10)

谐函数

m=l,l-1,··,-l+1,-l,

l=0,1,2

,.

·

.

²和l的本征值都是量子化的

I

l

→→轨道角动量量子数

m→磁量子数

P(cosθ)→连带Legendre多项式

4

算符I²本征值的简并度?

球

子

量

力

学

力

学

量完全集

与守恒量

5

目录

态叠加原理与力学量完全集守恒量与力学量完全集

守恒量与能级简并

四习题

三、

6

一、态叠加原理与力学量完全集(1)

1、态叠加原理的回顾

设算符A的本征函数和本征值为y,和A,描述体系状态的任一波函数可表示为

ψ=Zanyn,其中

n

a。|21

n

在4中测量力学量A取A,的概率。

7

一、态叠加原理与力学量完全集(2)

2、波函数的展开(1)

1)对一维谐振子，

能量本征值：E,=(n+1/2)hw,n=0,1,2,3,…

构成一组正交归一完备函数，

任一函数y可按y,来展开，即

其中，展开系数

8

一、态叠加原理与力学量完全集(3)

2、波函数的展开(2)

1一维谐振子：离散情况。(2)动量本征态，连续情况本征函数为,本征值px∈(-○,o)

它们也能构成正交完备态矢，因为从数学上讲，

按傅立叶展开定理，任何平方可积函数y均可展开

如下：

其中，展开系数

从态叠加原理出发：ψ是描述体系状态的一个波函数

9

一、态叠加原理与力学量完全集(4)

2、波函数的展开3)

1)对一维谐振子：离散谱。(2)动量本征态：连续谱(3)一般情况：yn和A,是算符A的本征态与本征值，如果VA,,都是不简并的，则y,能构成一组正交归一完备态矢，系统的任何状态y均可展开如下：

其中，

aI²→在状态y下测得A,的概率

那么,存在简并时，如何?

10

一、态叠加原理与力学量完全集(5)

2、波函数的展开(4)

(1)对一维谐振子：离散谱；(2)动量本征态：连续谱

(3)一般情况：不简并；(4)一维自由粒子：简并情况H=p²/2m,本征态ψE=Ce±ikx,本征值E=h²k²/2m

VE→ψ+=Ce+ix和ψ=Ce-两个本征态→∴本征值E是二重简并的

则Vy(x),一般情况下，ψ(x)≠φ(k)yE(k,x)dk

简并态的选择是不唯一的!

11

一、态叠加原理与力学量完全集(6)

2、波函数的展开(5)

如果本征值E是简并的，则Vy(x),一般

情况下，为什么y(x)≠yE(k,x)dk?

是因为属于同一个本征值的本征态之间的正交性得不到保证。例如，一维自由粒子，VE=Ce±ikx两个本征态，则

12

一、态叠加原理与力学量完全集(7)

2、波函数的展开(6)

注意一维自由粒子的本征态ψE=Ce±i是

哈密顿算符H的本征态。Ce±ikx来说，

虽然对于Vψ(x),ψE(k,x)dk

但是，可以寻找另外的算符A,若[H,A]=0,则有可能用Â的本征值对(H,A)的共同本征函数yk进行分类，从而使同一个E对应的简并态之

间的正交性得到保证。问题是，

1、能找到这样的A吗?2、如何进行分类?

13

一、态叠加原理与力学量完全集(8)

2、波函数的展开(7)

设P为宇称算符，不难证明[H,P]=0,H和P拥有两个共同本征函数：ψ偶和ψ奇→不简并

按P的本征值P=1和p=-1,可将他们划分为两类偶宇称，p=1-→4偶=Ccos(kx),E=h²k²/2m

奇宇称，p=-1→ψ奇=Csin(kx),E=h²k²/2m

∵sin(kx)和cos(kx)是正交归一完备的，∴Vy(x),有

14

一、态叠