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《高等数学》第4章 多元函数微积分-教学课件(非AI生成).ppt

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***性质4-5若在D上则性质4-7(二重积分中值定理)性质4-6设、分别是在闭区域D上的最大值和最小值,为D的面积,则设函数在闭区域D上连续,为D的面积,则在D上至少存在一点,使得*1.直角坐标系下的计算二重积分仅与被积函数及积分区域有关,为此,先介绍积分区域D.二、二重积分的计算(1)-型区域*的特点:平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点最多只有两个.-型区域(2)-型区域的特点:平行于轴且穿过区域的直线与区域边界的交点最多只有两个.-型区域*(3)矩型域*-型区域下二重积分的计算:由二重积分的几何意义,若?(x,y)≥0,则其中V为如图所示的曲顶柱体的体积.下面用微元法来求曲顶柱体的体积*在区间上任取一点,作平行于的平面,截曲顶柱体,得到一截面,此截面的面积*曲顶柱体在间距为的两个截面间的体积微元由微元法可得曲顶柱体的休积故*(4)若?(x,y)≤0仍然适用.注意(1)二重积分可化为二次定积分计算;(3)为方便,公式也常记为:(2)-型区域的积分次序先后;-型区域的积分次序先后.或-型域下二重积分的计算同理:*矩形域下二重积分的计算特别地,若,则因为对积分是常数,且是常数.所以*解法一先积再积例4-32计算二重积分,其中为矩形:*解法二先积再积*解[X-型]例4-33求,其中是由抛物线和所围成的区域.**例3-34-12解(如图)将D看作Y型?按先y后x的方法如何计算呢**例4-35计算,其中由直线、、所围成.解积分区域既是-型,又是-型的.若先对,再对积分以上积分不容易求出,因为的原函数不能用初等函数表示.*换一种积分次序计算:先对,再对积分*例4-36交换下列二次积分的积分次序.(1)(2)解(1)按原积分的上下限,积分区域为-1更换积分次序,分为两个-型区域*因此*(2)按原积分的上下限,积分区域由和组成更换积分次序,为-型区域因此*2.在极坐标下的计算当积分区域是圆域或圆域的一部分,被积函数为、等用极坐标表示比较简单时,常考虑利用极坐标计算二重积分.从图中可以看出所以*下面讨论面积元素在极坐标下的表示用以极点为中心的一组同心圆,从极点出发一组射线,将区域分成小区域*(1)极点O在积分区域内部*(2)极点O在积分区域边界上*(3)极点O在积分区域外部*例4-37计算,其中区域解故2*例4-38计算,其中是由(的上方)及圆(的外部)和(的内部)所围成的闭区域.解圆的极坐标方程为;圆的极坐标方程为.由两圆的交点为所以*故*例4-39计算

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