2025年新高考艺术生数学突破讲义：对数与对数函数.docxVIP

对数与对数函数

【考点预测】

1、对数式的运算

(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．

(2)常见对数：

①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；

②常用对数：以为底，记为；

③自然对数：以为底，记为；

(3)对数的性质和运算法则：

①；；其中且；

②(其中且，)；

③对数换底公式：；

④；

⑤；

⑥，；

⑦和；

⑧；

2、对数函数的定义及图像

(1)对数函数的定义：函数且叫做对数函数．

对数函数的图象

图象

性质

定义域：

值域：

过定点，即时，

在上增函数

在上是减函数

当时，，当时，

当时，，当时，

【方法技巧与总结】

1、对数函数常用技巧

在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)

【典型例题】

例1．（2024·广东·一模）假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（????）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：，，）

A．23 B．100 C．150 D．232

【答案】B

【解析】令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，天后，甲、乙的“日能力值”分别，

依题意，，即，两边取对数得，

因此，

所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.

故选：B

例2．（2024·高三·江西·开学考试）研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2023年12月18日在甘肃积石山县发生了里氏6.2级地震，2024年1月4日在斐济群岛发生了里氏5.7级地震，若前后这两个地震释放的能量之比是，则的整数部分为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】设前后两次地震释放的能量分别为，

由已知得，两式相减得，

则，

因为，则，即，

所以的整数部分为5.

故选：C.

例3．（2024·高一·河南·开学考试）已知函数，则（????）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】A

【解析】令，得，则.

故选：A

例4．（2024·全国·模拟预测）在等差数列中，已知与是方程的两根，则（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为与是方程的两根，由韦达定理得，

因为数列为等差数列，所以，，

所以，

故选：B.

例5．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，，，则（????）

A． B． C． D． E．均不是

【答案】D

【解析】由题意知，，，，

因为，，

所以由换底公式可得，，

又因为（），

所以，

所以由换底公式可得.

故选：D.

例6．（2024·高一·广东江门·阶段练习）若函数是函数（，且）的反函数，且满足，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数（且）的反函数为，

即，又，所以，所以，

则.

故选：A

例7．（2024·高一·全国·专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（????）

A．①②③ B．③④⑤

C．③④ D．②④⑥

【答案】C

【解析】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，

其中x是自变量，a是常数，

易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；

③中，是对数函数；④中，是对数函数；

⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.

故选：C.

例8．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数①y＝logax；②y＝logbx；③y＝logcx；④y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（）

A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c

C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c

【答案】A

【解析】解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正确，D错误；又a＋d与b＋c的大小不确定，故B，C错误．故选A.

例9．（2024·高一·青海西宁·开学考试）函数的图象是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为，故排除D；

当时，，故排除BC；

结合对数函数的性质可知A正确.

故选：A.

例10．（2024·天津南开·一模）已知，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由指数函数与对数函数的性质可得，，，，

所以，

故选：A.

例11．（2024·重庆·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为函数在上单调递增，

所以，解得.

故选：B.

例12．（2024·高一·上海·开学考试）设都是非零常数，且满足，