九年级中考 几何综合题型之最值问题：解题策略与常考题型（学生版）.docx

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几何综合题型之最值问题：解题策略与常考题型

教学过程

一、复习预习

最值问题是初中数学中的一种常见题型，而利用勾股定理、轴对称等知识求图形中的最值，是近年中考的热点问题第一。对这类问题，我们应该学会分析、观察图形，从中找出解题途径。

二、知识讲解

1.两条线段和的最小值。

（一）、已知两个定点：

1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；

（1）点A、B在直线m两侧：

（2）点A、B在直线同侧：

A、A/是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：

（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

（3）两个点都在内侧：

（4）、台球两次碰壁模型

变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.

变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

（二）、一个动点，一个定点：

1、动点在直线上运动：

点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）

（1）、两直线在定点的同侧：

（2）、两直线在定点的两侧（定点在两直线的内部）：

求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)

基本图形解析：在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；

1、点A、B在直线m同侧：

解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。

2、点A、B在直线m异侧：

解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’

3.其它非基本图形类线段和差最值问题

1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。

2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。

3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。

三、例题精析

【例题1】

Q第1题图【题干】如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值

Q

第1题图

【例题2】

【题干】如图1，在锐角三角形ABC中，AB=,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．

第

第2题图

【例题3】

【题干】如图所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.

第

第3题图

【例题4】

【题干】

如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；

⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

⑶当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.

E

E

AD

BC

N

M

四、课堂运用

【基础】

如图，在Rt△ABC中，∠ACB□?□90°，AC□?□6，BC□?□8，AD是∠BAC的平分线．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC□?□PQ的最小值（）

A．eq\s\do(\f(12,5))B．4C．eq\s\do(\f(24,5))D．5

A

A

Q

C

P

D

B

第10题

2.如图，等边△ABC中，AB=4，N是线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于D，AD=，M是AD上的动点，连接BM、MN,则BM+MN的最小值为_________．

【巩固】

1.如图，已知△ABC，按下列语句要求用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

（1）作出BC的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于点E；

（2）作出∠ACB的角平分线CF，交AB于点F；

（3）在BC上找出一点P，使△PEF的周长最小．

2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边在△ABC外侧作等边三角形A