2025年新高考艺术生数学突破讲义：数列通项.docxVIP

数列通项

【知识点总结】

一、观察法

根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项．

二、利用递推公式求通项公式

=1\*GB3①叠加法：形如的解析式，可利用递推多式相加法求得

=2\*GB3②叠乘法：形如的解析式，可用递推多式相乘求得

=3\*GB3③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列

构造成为等差或等比数列来求其通项公式．常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法．

④利用与的关系求解

形如的关系，求其通项公式，可依据

，求出

【典型例题】

例1．（2024·高三·全国·专题练习）若数列的前项和，则的通项公式是（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为①，

则当时，②，

①―②得：，

整理得：，

又，解得.

所以数列是首项为1，公比为的等比数列，

则.

故选：A.

例2．（2024·高三·安徽·开学考试）已知正项数列满足，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意，，则数列是以为公比的等比数列，因此，

所以.

故选：B

例3．（2024·高三·甘肃平凉·阶段练习）已知数列满足，，则的通项公式为．

【答案】

【解析】因为，，

所以，

即，，，，，

所以，

即，则，

当时也成立，所以，

故答案为：．

例4．（2024·高二·北京·期中）数列中，若，，则.

【答案】

【解析】由题意，，可得，所以，

所以.

故答案为：.

例5．（2024·高三·全国·专题练习）数列满足，则．

【答案】

【解析】令，的前项和为，

因为，可得，

当时，；

当时，，

将代入上式可得，

综上可得，即，所以.

故答案为：.

例6．（2024·高三·全国·专题练习）已知在正项数列中，，则数列的通项公式为.

【答案】

【解析】根据题意由可得；

两式相减可得，

所以，即可得；

易知当时，符合上式；

所以数列的通项公式为.

故答案为：

例7．（2024·高二·陕西西安·期中）在数列中，，，且，则数列的通项公式是．

【答案】

【解析】，故是等比数列，，故.

故答案为：

例8．（2024·高二·湖南长沙·阶段练习）已知数列中，且，则为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由可得，

即，

所以为以为首项，公差为的等差数列，

所以，

所以.

故选：D.

例9．（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（????）

A．778 B．779 C．780 D．781

【答案】C

【解析】六边形数从小到大排成一列，形成数列，

依题意，，归纳得，

所以.

故选：C

例10．（2024·高三·河北张家口·阶段练习）已知数列，则是这个数列的（????）

A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项

【答案】B

【解析】由题意可得数列的通项公式为，

又，解得，

所以是这个数列的第22项．

故选：B．

例11．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列中，，且满足．设，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的通项公式；

【解析】（1）∵，，∴，

∵，∴，

又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，

∴，.

（2）∵，

∴当时，

，又也满足上式，

所以.

例12．（2024·高二·新疆省直辖县级单位·阶段练习）（1）已知等差数列的前项和为，且满足，．求数列的通项公式；

（2）已知数列满足，，求通项公式．

【解析】（1）依题意，设数列的公差为，

因为，所以，解得：，

所以；

（2），

，

．

例13．（2024·高三·全国·专题练习）已知：，时，，求的通项公式．

【解析】设，所以，

∴，解得：，

又，∴是以3为首项，为公比的等比数列，

∴，∴．

【过关测试】

一、单选题

1．（2024·高三·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知数列满足，若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数的最小正周期为，

所以有

故选：D

2．（2024·福建漳州·一模）已知各项均不为0的数列的前项和为，若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，则，

两式相减可得：，即，

令，可得，

且，所以.

故选：A.

3．（2024·高三·天津和平·期末）已知数列为等