专题24.3 垂径定理-重难点题型（教师版含解析）.pdf

专题24.3垂径定理-重难点题型

【人教版】

【知识点1垂径定理及其推论】

（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

【题型1垂径定理（连半径）】

【例1】（2021春•海门市期中）如图，以c为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD

的长为（）

A．4B．6C．8D．10

【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OM＝16﹣r，根据垂径定理得到AM＝BM＝8，

222

再根据勾股定理得到8+（16﹣r）＝r，解方程求出r＝10，然后计算CD﹣CM即可．

122.

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【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OM＝16﹣r，

∵AB⊥CD，

1

∴AM＝BM=AB＝8，

2

222

在Rt△AOM中，8+（16﹣r）＝r，解得r＝10，

∴MD＝CD﹣CM＝20﹣16＝4．

故选：A．

【变式1-1】（2021•淄川区一模）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，

则⊙O的半径为（）

A．4B．42C．46D．43

【分析】如图，连接OA，OC．设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，构建方程组求出r即可．

【解答】解：如图，连接OA，OC．

∵OP⊥CD，CD∥AB，

∴OP⊥AB，

222.

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∴CN＝DN＝6，AM＝MB＝9，

设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，

222

则有=6+(2，

222

=9+

6

解得，r＝4，

故选：C．

【变式1-2】（2020秋•衢州期中）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，已知AE＝1cm，BE＝5cm，∠

DEB＝30°，求：

（1）CD的弦心距OF的长；

（2）弦CD的长．

【分析】（1）根据题意求出OE，根据含30°角的直角三角形的性质求出OF；

（2）连接OD，根据勾股定理求出DF，根据垂径定理解答即可．

【解答】解：（1）∵AE＝1cm，BE＝5cm，

∴AB＝AE+EB＝6cm，

∴OE＝OA﹣AE＝2cm，

∵OF⊥CD，∠DEB＝30°，

11

∴OF=OE=×2＝1（cm）；

22

（2）连接OD，

2222

在Rt△ODF中，由勾股定理得：DF=−=3−1=22（cm），

∵OF⊥CD，

∴CD＝2DF＝42（cm）．

322.

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【变式1-3】（2020秋•蜀山区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AD，过点O作OF

⊥AD于F，若CD＝6，BE＝1，求△AOF的面积．