2024年高考数学一轮总复习讲义 第二讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式.docxVIP

第二讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

知识梳理

知识点一同角三角函数的基本关系式

1．平方关系：sin2x＋cos2x＝1.

2．商数关系：eq\f(sinx,cosx)＝tanx.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))

知识点二三角函数的诱导公式

组数

一

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α

(k∈Z)

π＋α

－α

π－α

eq\f(π,2)－α

eq\f(π,2)＋α

正弦

sinα

－sinα

－sinα

sinα

cosα

cosα

余弦

cosα

－cosα

cosα

－cosα

sinα

－sinα

正切

tanα

tanα

－tanα

－tanα

归纳拓展

1．同角三角函数基本关系式的常见变形

sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；

cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.

(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；

(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα；

sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))；

sin2α＝eq\f(sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α,tan2α＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))；

cos2α＝eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1,tan2α＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).

2．诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)所在的象限．

双基自测

题组一走出误区

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(×)

(2)若α∈R，则tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．(×)

(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1．(×)

(4)若sin(kπ－α)＝eq\f(1,3)(k∈Z)，则sinα＝eq\f(1,3).(×)

[解析](1)根据诱导公式知α为任意角．(2)cosα≠0时才成立．(3)根据同角三角函数的基本关系式知当α，β为同角时才正确．(4)sin(kπ－α)＝±sinα，∴sinα＝±eq\f(1,3).

题组二走进教材

2．(必修1P184练习T1改编)若α是钝角且sinα＝eq\f(1,3)，则tanα＝(A)

A．－eq\f(\r(2),4) B．eq\f(\r(2),4)

C．－eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(2),2)

[解析]由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．因为α是钝角且sinα＝eq\f(1,3)，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(2),3)，则tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(\r(2),4).故选A．

3．(必修1P186T15改编)已知tanα＝3，则eq\f(sin?π－α?＋2cos?π＋α?,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α)))＝(B)

A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)

C．eq\f(5,4) D．eq\f(1,2)

[解析]利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.eq\f(sin?π－α?＋2cos?π＋α?,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α)))＝eq\f(sinα－2cosα,cosα＋sinα)＝eq\f(tanα－2,