2025年新高考艺术生数学突破讲义 专题09 指数与指数函数 含解析 .docx

专题09指数与指数函数

【考点预测】

1、指数及指数运算

（1）根式的定义：

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．

（2）根式的性质：

当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．

当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数．

（3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘．

（4）有理数指数幂的分类

①正整数指数幂；②零指数幂；

③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．

（5）有理数指数幂的性质

①，，；②，，；

③，，；④，，．

2、指数函数

图象

性质

①定义域，值域

②，即时，，图象都经过点

③，即时，等于底数

④在定义域上是单调减函数

在定义域上是单调增函数

⑤时，；时，

时，；时，

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

【方法技巧与总结】

1、指数函数常用技巧

（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．

（2）当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．

当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．

（3）指数函数与的图象关于轴对称．

【典例例题】

例1．（2024·内蒙古包头·一模）已知是奇函数，则（????）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【解析】因为，则函数的定义域为，

即是定义在上的奇函数，则，

则，所以.

经检验，当时，为奇函数，满足题意.

故选：D.

例2．（2024·高三·重庆长寿·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（????）

A． B． C．0 D．

【答案】B

【解析】因为函数是定义在上的奇函数，

所以，

故选：B.

例3．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意知，为奇函数，为偶函数，

则，

所以，即，

解得.

故选：B

例4．（2024·高一·吉林长春·期中）函数是指数函数，则有（????）

A．或 B．

C． D．，且

【答案】B

【解析】由指数函数的概念，得且，解得．

故选：B

例5．（2024·高三·江西·开学考试）函数的图象大致为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】，且函数定义域为，关于原点对称，所以为奇函数，排除CD．

当时，，所以，排除B，经检验A选项符合题意.

故选：A．

例6．（2024·高三·山东济南·开学考试）函数的图象大致为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由函数，，令，解得，

则其定义域为，关于原点对称，

所以函数在定义内为偶函数，排除C，D选项，因为，观察选项可知，选A.

故选：A

例7．（2024·高三·安徽合肥·期中）将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线.假设过后甲桶和乙桶的水量相等，若再等min甲桶中的水只有升，则的值为（????）

A．5 B．6 C．8 D．10

【答案】D

【解析】由题意可得：，

，，；

，，，，解得.

故选：D.

例8．（2024·高一·四川成都·期中）函数的定义域为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】函数的定义域满足，解得且.

故答案为：D

例9．（2024·高三·江苏连云港·阶段练习）已知函数.

(1)当时，求的最大值和最小值；

(2)若，使成立，求实数的取值范围.

【解析】（1）令，

故，

当时，取得最小值，最小值为，

又，，

故的最大值为170，最小值为；

（2），即，

令，故在上有解，

，只需，

其中在上单调递减，在上单调递增，

又当时，，当时，，

故，解得，

故实数的取值范围为.

例10．（2024·高一·河北保定·期中）已知函数．

(1)若，求的单调区间

(2)若有最大值3，求的值

(3)若的值域是，求的值

【解析】（1）当时，，

令，由在上单调递增，在上单调递减，

而在R上单调递减，

所以在上单调递减，在上单调递增，

即的单调递增区间是，单调递减区间是．

（2）令，，

由于有最大值3，所以应有最小值，

因此必有．解得，即有最大值3时，a为1．

（3）由指数函数的性质知，要使的值域为，

应使的值域为R，

因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R），

故a的值为0．

【过关测试】

一、单选题

1．（2024·江苏南通·二模）已知函数，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为

由于，则．

故选：B

2．（2024·内蒙古包头·一模）已知是奇函数，则（????）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】D

【解析】由函数是奇函数，可得，

解得，即函数，

又由函数的定义域为，且，

所以函数为奇函数，所以符合题意.

故选：D.

3．（