四川省成都市列五中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题 Word版含解析.docx

高三数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百分位数为（）

A.15 B.16 C.17 D.18

【答案】D

【解析】

【分析】将这些数从小到大重新排列后结合百分位数的定义计算即可得.

【详解】将这些数从小到大重新排列后为：2，3，5，7，9，10，16，18，20，23，

，则取从小到大排列后的第8个数，

即该组数据的第75百分位数为18.

故选：D.

2.记为等差数列的前项和，若，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由等差中项的性质结合题意求出，再利用公式法求出公差和，然后由求和公式计算即可；

【详解】因为为等差数列的前项和，且，

所以，解得，

又公差，所以，，

所以，

故选：B.

3.若，则（????）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】注意到，后由可得答案.

【详解】.

因，则.

故选：A

4.直线被圆截得的最短弦的弦长为（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出直线恒过定点，当直线时，直线截圆的弦长最小，再用勾股定理求出弦长.

【详解】设圆的圆心为点，圆的标准方程为：，圆心坐标为，半径，

直线的方程可化为：，所以直线恒过定点，

当直线时，直线截圆的弦长最小，根据勾股定理可知：

弦长的最小值.

故选：C

5.已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，

则需满足，解得，

即a的范围是.

故选：B.

6.已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题中条件作出外接球球心，利用勾股定理计算得到半径，进一步计算即可.

【详解】过三角形中心作平面的垂线，

过三角形的中心作平面的垂线，

两垂线交于点，连接，

依据题中条件可知，为四面体的外接球球心，

因为，

所以,

则,

即外接球半径为，

则该球的表面积为，

故选：C.

7.已知直线与抛物线相交于两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可知，抛物线的准线为，利用抛物线的几何性质求出和抛物线的方程和焦点坐标，结合直线的方程可知，直线经过焦点，利用抛物线的定义表示出以为直径的圆的半径和圆心,由得到关于的方程，解方程求出，则得到弦长.

【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，解得，

因为，所以抛物线的方程为：，其焦点为，

又直线，所以直线恒过抛物线的焦点，

设点，因为两点在抛物线上，

联立方程，两式相减可得，，

设的中点为，则，因为点在直线上，

解得可得，所以点是以为直径的圆的圆心，

由抛物线的定义知，圆的半径，

因为，所以，

解得，则，则.

故选：C.

8.点是所在平面内的点，且有，直线分别交于点，记的面积分别为，则（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由向量的加法法则结合三点共线确定点的位置，再结合三角形的面积公式求解即可；

【详解】

由可得，即，

设，因为三点共线，则存在实数，使得，

将代入可得

，即，

由于不共线，则，解得，

即，，

同理，设，则，

因为三点共线，所以，即，

又由三角函数的诱导公式可得，

所以

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是能结合图形利用三点共线确定点的位置，即得到和，再结合三角形的面积公式求解即可.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（）

A.事件，为互斥事件 B.事件B，C为独立事件

C. D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB，由组合知识求得判断C，根据条件概率的定义求得判断D．

【详解】第一次取出球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；

由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，

，事件不发生，则两球一白