2025年新高考艺术生数学突破讲义 专题20 三角函数的图象与性质 含解析 .docx

专题20三角函数的图象与性质

【考点预测】

1、“五点法”作图原理

在确定正弦函数的图像时，起关键作用的5个点是.

在确定余弦函数的图像时，起关键作用的5个点是.

2、三角函数的图像与性质

在上

的图像

定义域

值域（有界性）

最小正周期

（周期性）

奇偶性（对称性）

奇函数

偶函数

单调增区间

单调减区间

对称轴方程

对称中心坐标

最大值及对应自变量值

时

时

最小值及对应自变量值

时

时

函数

正切函数

图像

定义域

值域

周期性

奇偶性

奇函数，图像关于原点对称

单调性

在上是单调增函数

对称轴

无

对称中心

3、与的图像与性质

（1）最小正周期：.

（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A].

（3）最值

假设.

①对于，

②对于，

（4）对称轴与对称中心.

假设.

①对于，

②对于，

正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.

（5）单调性.

假设.

①对于，

②对于，

（6）平移与伸缩

（，）的图象，可以用下面的方法得到：

=1\*GB3①画出函数的图象；

=2\*GB3②把的图象向左（）或向右（）平移个单位长度，得到函数的图象；

=3\*GB3③把图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；

=4\*GB3④把图象上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象.

【典例例题】

例1．（2024·陕西西安·一模）将函数的图象向左平移m（）个单位，所得图象关于原点对称，则m的值可以是（????）．

A． B．π C． D．

【答案】D

【解析】将函数的图象向左平移m个单位，

得的图象，

因为的图象关于原点对称，

所以，即，

当时，得，

使，，的整数不存在.

故选：D

例2．（2024·高三·江苏扬州·阶段练习）函数的最小正周期是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，故最小正周期为.

故选：B

例3．（2024·高三·全国·阶段练习）函数在上没有最小值，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】函数中，当时，，

由在上没有最小值，得，解得，

所以的取值范围是.

故选：C

例4．（2024·全国·二模）若函数的图象关于轴对称，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意，函数是偶函数，则，

即，而，所以.

故选：B

例5．（2024·四川·模拟预测）已知，若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，显然它定义域关于原点对称，

且，

所以为奇函数，

，则，

所以，.

故选：C.

例6．（2024·高三·江苏·专题练习）已知函数，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（???）

A．是偶函数

B．的图象关于直线对称

C．在上单调递增

D．不等式的解集为

【答案】B

【解析】A选项，，

由于的定义域为R，且，

故为奇函数，故A错误；

B选项，由选项A可知，故的图象的对称轴为，即，

令可得，即的图象关于直线对称，故B正确；

C选项，时，，其中在上不单调，

故在上不单调，故C错误；

D选项，，则，则，

故，D错误.

故选：B

例7．（2024·高三·安徽·阶段练习）已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象.若是偶函数，则为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意，，

由是偶函数，得，，

而，则.

故选：B

例8．（2024·北京门头沟·一模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】对于A：定义域为，为非奇非偶函数，故A错误；

对于B：定义域为，为奇函数，但是函数在上单调递减，故B错误；

对于C：为奇函数，定义域为，但是函数在上不单调，故C错误；

对于D：令定义域为，且，

所以为奇函数，且当时，函数在上单调递增，故D正确.

故选：D

例9．（2024·山东淄博·一模）已知函数，则下列结论中正确的是（????）

A．函数的最小正周期

B．函数的图象关于点中心对称

C．函数的图象关于直线对称

D．函数在区间上单调递增

【答案】D

【解析】对于A，函数的最小正周期，A错误；

对于B，由，得函数f(x)的图象不关于点对称，B错误；

对于C，由，得函数f(x)的图象不关于直线对称，C错误；

对于D，当时，，而正弦函数在上单调递增，

因此函数在区间上单调递增，D正确.

故选：D

例10．（2024·高三·全国·专题练习）若，则（????）

A． B． C．0 D．

【答案】C

【解析】由题意知的最小正周期为，

且，

故

，

故选：C

例11．（2024·高三·全国·专题练习）要得到余弦曲线y＝cosx，只需将正弦