2025年新高考艺术生数学突破讲义 专题34 掌握直线方程的基本类型 含解析 .docx

专题34掌握直线方程的基本类型

【考点预测】

一、基本概念

斜率与倾斜角

我们把直线中的系数（）叫做这条直线的斜率，垂直于轴的直线，其斜率不存在．轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角．倾斜角，规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用表示，即．

当时，直线平行于轴或与轴重合；

当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；

当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；

二、基本公式

1、两点间的距离公式

2、的直线斜率公式

3、直线方程的几种形式

（1）点斜式：直线的斜率存在且过，

注：①当时，；②当不存在时，

（2）斜截式：直线的斜率存在且过，

（3）两点式：，不能表示垂直于坐标轴的直线．

注：可表示经过两点的所有直线

（4）截距式：不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线．

（5）一般式：，能表示平面上任何一条直线（其中，向量是这条直线的一个法向量）

三、两直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定．

两直线方程

平行

垂直

（斜率存在）

（斜率不存在）

或

或中有一个为0，另一个不存在．

四、三种距离

1、两点间的距离

平面上两点的距离公式为．

特别地，原点O（0，．0）与任一点P（x，y）的距离

2、点到直线的距离

点到直线的距离

特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离

3、两条平行线间的距离

已知是两条平行线，求间距离的方法：

（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．

（2）设，则与之间的距离

注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．

【典型例题】

例1．（2024·高二·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】函数在上单调递增，

又，，

故的取值范围是.

故选：C

例2．（2024·安徽合肥·三模）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意可得：直线的斜率，即直线的倾斜角为.

故选：A

例3．（2024·高三·山东青岛·期末）对于直线，下列选项正确的为（????）

A．直线倾斜角为

B．直线在轴上的截距为

C．直线的一个方向向量为

D．直线经过第二象限

【答案】C

【解析】因为直线的斜率为，所以直线倾斜角为，故A错误；

在中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故B错误；

在中，令，解得，即直线过两点，

，所以直线的一个方向向量为，故C正确；

画出直线的图象如图所示，

所以直线不经过第二象限，故D错误.

故选：C.

例4．（2024·高二·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直线的斜率为，

由于，设倾斜角为，

则，，

所以.

故选：B.

例5．（2024·高三·全国·专题练习）设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由直线，可得，

可得直线的斜率为，且恒过定点，则，

如图所示，要使得直线与线段有交点，则或，

可得或，即实数的取值范围为.

故选：A.

例6．（2024·全国·模拟预测）平行直线与之间的距离为（???）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以，，

解得，所以，

故两平行直线间的距离．

故选：C．

例7．（2024·高二·四川泸州·阶段练习）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】联立，解得，故两直线的交点为.

因为交点在第一象限，所以，解得.

故选：A

例8．（2024·全国·模拟预测）若正方形一边对角线所在直线的斜率为，则两条邻边所在直线斜率分别为，.

【答案】

【解析】正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为，建立如图直角坐标系，

设对角线OB所在直线的倾斜角为，则，

由正方形性质可知，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，

故，

.

故答案为：；.

例9．（2024·陕西西安·二模）已知直线过点和点，直线：，若，则.

【答案】

【解析】直线的斜率，所以直线方程为，即，

因为，所以，

故答案为：.

例10．（2024·高三·浙江·阶段练习）直线与直线所成夹角大小为．

【答案】

【解析】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，两条直线夹角为，

则，，

则，，

所以.

故答案为：.

例11．（2024·高三·重庆九龙坡·阶段练习）已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是．

【答案】

【解析】由直线化为，

令，解得，于是此直线恒过点．

设点P关于直线的对