C语言动态规划经典题目.docVIP

动归经典题

题三???加分二叉树（2003）

【问题描述】

??设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

??subtree的左子树的加分×?subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数

??若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。

??试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；

??（1）tree的最高加分

??（2）tree的前序遍历

【输入格式】

??第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。

??第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。

【输出格式】

??第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

??第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

【输入样例】

??5

??5?7?1?2?10

【输出样例】

??145

??3?1?2?4?5

[分析]很显然，本题适合用动态规划来解。如果用数组value[i,j]表示从节点i到节点j所组成的二叉树的最大加分，则动态方程可以表示如下：

value[i,j]=max{value[i,i]+value[i+1,j],value[i+1,i+1]+value[i,i]*value[i+2,j],?value[i+2,i+2]+value[i,i+1]*value[i+3,j],…,value[j-1,j-1]+value[i,j-2]*value[j,j],?value[j,j]+value[i,j-1]}

题目还要求输出最大加分树的前序遍历序列，因此必须在计算过程中记下从节点i到节点j所组成的最大加分二叉树的根节点，用数组root[i,j]表示

[PASCAL源程序]

{$N+}

program?NOIP2003_3_Tree;

const

??maxn=30;

var

??i,j,n,d:byte;

??a:array[1..maxn]of?byte;

??value:array[1..maxn,1..maxn]of?comp;

??root:array[1..maxn,1..maxn]of?byte;

??s,temp:comp;

??f1,f2:text;fn1,fn2,fileNo:string;

procedure?preorder(p1,p2:byte);{按前序遍历输出最大加分二叉树}

??begin

????if?p2=p1?then?begin

????write(f2,root[p1,p2],?);

????preorder(p1,root[p1,p2]-1);

????preorder(root[p1,p2]+1,p2);

????end;

??end;

begin

??write(Input?fileNo:);readln(fileNo);

??fn1:=tree.in+fileNo;fn2:=tree.ou+fileNo;

??assign(f1,fn1);reset(f1);

??assign(f2,fn2);rewrite(f2);

??readln(f1,n);

??for?i:=1?to?n?do?read(f1,a);

??close(f1);

??fillchar(value,sizeof(value),0);

??for?i:=1?to?n?do?begin

????value[i,i]:=a;{计算单个节点构成的二叉树的加分}

????root[i,i]:=i;{记录单个节点构成的二叉树的根节点}

??end;

??for?i:=1?to?n-1?do?begin

????value[i,i+1]:=a+a[i+1];{计算相邻两个节点构成的二叉树的最大加分}

????root[i,i+1]:=i;{记录相邻两个节点构成的二叉树的根节点；需要说明的是，两个节点构成的二叉树，其根节点可以是其中的任何一个；这里选编号小的为根节点，则编号大的为其右子树；若选编号大的为根节点，则编号小的为其左子树；因此，最后输出的前序遍历结果会有部分不同，但同样是正确的。如果最大加分二叉树的所有节点的度数都是0或2，则最后输出的前序遍历结果是唯一的。}

??end;

??for?d:=2?to?n-1?do?begin{依次计算间距为d的两个节点构成的二