信号与系统（第五版）课件第2章 连续时间信号和系统的时域分析.pptx

第2章连续时间信号和系统的时域分析;

2.1LTI系统的数学模型与传输算子;

例2.1-1如图2.1-1所示的RLC串联电路，e(t)为激励信号，响应为i(t)，试写出其微分方程。

解这是有两个独立动态元件的二阶系统，利用KVL定理列回路方程，可得

上式是一个微、积分方程，对方程两边求导，并代入系数，整理为

这是二阶系统的数学模型——二阶线性微分方程。;

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一般有n个独立动态元件组成的系统是n阶系统，可以由n阶微分方程描述(或n个一阶微分方程组描述)。还可以从另一个角度判断一般电路系统的阶数:系统的阶数等于独立的电容电压vC(t)与独立的电感电流iL(t)的个数之和。其中独立vC(t)是不能用其他vC(t)(可含电源)表示的；独立iL(t)是不能用其他iL(t)(可含电源)表示的。;

例2.1-2如图2.1-2所示电路，判断系统阶数。

解(1)列电路(a)的KVL方程:R1i1(t)+vC1(t)+vC2(t)=e(t)，vC2(t)=vR2(t)，有两个独立的vC(t)，所以该系统是二阶系统。

(2)列电路(b)的KVL方程:vC1(t)=vC2(t)+vC3(t)，是通过其他vC(t)表示的，是非独立的vC(t)；但vC2(t)≠vvC3(t)，有两个独立的vC(t)，所以该系统也是二阶系统。;

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2.1.2用算子符号表示微分方程

n阶LTI系统的数学模型是n阶线性常系数微分方程，一般表示为

式(2.1-1)的一般形式书写起来不方便，为了形式上简洁，可以将微、积分方程中的微、积分运算用算子符号p与1/p表示，由此得到的方程称为算子方程。

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微分算子

积分算子

这样，例2.1-1电路的微分方程可以表示为;

式(2.1-1)的n阶线性微分方程可以用算子表示为

式(2.1-5)是算子方程。算子方程中的每一项表示的是运算关系，而不是代数运算。不过模仿代数运算，可以将式(2.1-5)写为;

式(2.1-6)是n阶线性微分方程的算子方程。在这里，利用了提取公因子的代数运算规则。

若再令

称D(p)、N(p)分别为分母、分子算子多项式，则式(2.1-6)可简化为;

式(2.1-8)还可以进一步改写为

式中，分母多项式D(p)表??对输出y(t)的运算关系，分子多项式N(p)表示对输入f(t)的运算关系，而不是两个多项式相除的简单代数关系。;

(1)可进行类似代数运算的因式分解或因式相乘展开。;

(2)算子方程左、右两端的算子符号p不能随便消去。

解出x=y+C而不是x=y，两者相差一个任意常数C，所以不能由px=py得到x=y，即px=py，但x≠y。这一结论可推广到一般的算子方程:;

(3)p、1/p位置不能互换。;

2.1.3用算子电路建立系统数学模型

利用算子电路建立系统数学模型比较方便，这种方法简称算子法。它是先将电路中所有动态元件用算子符号表示，得到算子电路；再利用广义的电路定律，建立系统的算子方程；最后将算子方程转换为微分方程。电感的算子表示可由其电压电流关系得到，因为

式中，Lp是电感算子符号，若理解为广义的电感感抗，则式(2.1-13)满足广义欧姆定律。;

同理，由电容上的电压电流关系得到;

例2.1-3如图2.1-1所示RLC串联电路，输入为e(t)，输出为电流i(t)，用算子法列出算子方程与微分方程。;

解将图2.1-1中的电感、电容用算子符号表示，得到算子电路如图2.1-3所示，利用广义的KVL，列出算子方程式

两边同时作微分运算(“前乘”p)，得算子方程

由上面的算子方程写出微分方程为

结果与例2.1-1相同。;

例2.1-4如图2.1-4(a)电路，f(t)为激励信号，响应为i2(t)，试用算子法求其算子方程与微分方程。;;

例2.1-5如图2.1-5(a)所示电路输入为e(t)，输出为i1(t)、i2(t)，用算子法求其算子方程与微分方程。已知L1=1H，L2=2H，R1=2Ω，R2=1Ω，C=1F。;

解将图2.1-5(a)中的电感、电容分别用算子符号表示如图2.1-5(b)所示，利用广义网孔法，列算子方程组

为避免在运算过程中出现p/p因子，可先在上面的方程组两边同时作微分运算，即“前乘”p(当分子分母同时出现p时可约)，得到;;

用相同的方法，可以得到

微分方程为;

2.1.4传输(转移)算子H(p)

由式(2.1-9)有

我们定义传输(转移)算子H(p)为

这样，系统的输出可以表示为;

例2.1-6求例2.1-1