2025届上海市长宁区高三上学期期中考试数学试卷（解析版）.docxVIP

高级中学名校试卷

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上海市长宁区2025届高三上学期期中考试数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题位置直接填写结果.

1.已知集合，.若，则实数a的值是______.

【答案】9

【解析】集合，，，

，则a的值是9.

2.函数的定义域是______.

【答案】

【解析】由，解得或，

所以定义域为.

3.设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是______.

【答案】

【解析】因为，则，

因此，复数在复平面内对应的点的坐标是.

4.双曲线的渐近线方程是___________.

【答案】

【解析】因为双曲线方程为，

所以双曲线渐近线方程为，即.

5.已知，，，，，则______.

【答案】

【解析】因为，，，，，

所以

.

故答案为：.

6.在的展开式中，含的项的系数为_________.

【答案】10

【解析】因的展开式的通项为，

依题意，需使，解得，则.

故答案为：10.

7.记为数列的前项和，若，则______.

【答案】

【解析】因为为数列的前项和，且，

则.

8.为实数，且不等式恒成立，则实数的取值范围是____________.

【答案】

【解析】因为不等式对任意的实数恒成立，则，

由绝对值三角不等式可得，

当且仅当时，等号成立，即的最小值为，所以，.

故答案为：.

9.已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位数是，第75百分位数为，则__________．

【答案】

【解析】由题意得，，

所以．

10.已知，，则______．

【答案】

【解析】由题意知：，，

可得．

11.已知是定义域为的奇函数，当时，，则_______．

【答案】

【解析】因为是定义域为的奇函数，

所以，

所以，，

又当时，，

所以，，

所以,

故答案为：.

12.已知数列是公差不为的等差数列，，且、、成等比数列，设，则的前项和为______.

【答案】

【解析】设等差数列的公差为，则，

因为、、成等比数列，则，即，

即，因为，解得，

所以，，

所以，，

对任意的，，

，，

，

所以，，

因为，故数列bn的前项和为.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且正确答案，考生应在答题纸的相应位置.

13.“”是“”成立的（）条件.

A.充分非必要 B.必要非充分

C.充分必要 D.既非充分又非必要

【答案】A

【解析】由小范围推大范围可知为充分非必要条件，

故选：A.

14.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）

A.向左平移个单位 B.向左平移个单位

C.向右平移个单位 D.向右平移个单位

【答案】A

【解析】，

则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可，

故选：A.

15.被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为Hz；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由条件可知，

，

.

故选：D

16.在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD=O，E是线段B1C（含端点）上的一动点，则

①OE⊥BD1；

②OE面A1C1D；

③三棱锥A1﹣BDE的体积不是定值；

④OE与A1C1所成的最大角为90°．

上述命题中正确个数是（）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】C

【解析】利用平面，可得OE⊥BD1，所以①正确；

利用平面平面，可得OE面A1C1D，所以②正确；

根据，且底面的面积为定值，且到平面的距离为定值，所以该棱锥的体积为定值，所以③不正确；

当在处时，OE与A1C1所成的的角为90°，所以④正确；

所以上述命题中正确的个数为3，

故选：C.

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，b，c，．

（1）求∠B；

（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．

解：（1）在△ABC中，由正弦定理，因为，

所以，又，

∴，所以，即，

因为，所以；

（2）因为b＝2，c＝2a，由余弦定理得，

∴，解得，则，

所以△ABC的面积.

18.设

（1）求函数的单调递增、递减区间；

（2）当时，恒成立，求实数m取值范围．

解：（1），

令，解得或，

当或时，，为增函数，

当时，，为减函数

综上：函数的单调递增区间为和，递减区间为.

（2）当时，恒成立，

只需使在上最大值小于m即可

由（1）知